다변량 정규분포에서 대안적인 VaR의 특성

홍종선,이기쁨,Hong, Chong Sun,Lee, Gi Pum 한국데이터정보과학회 2016 한국데이터정보과학회지 Vol.27 No.6

가장 선호하는 금융위험 측정 방법은 통계적으로 최대손실금액을 추정하는 VaR (Value at Risk)이다. 포트폴리오를 구성하는 여러 산업에 대한 VaR (Value at Risk)는 분산공분산 행렬과 특정한 포트폴리오가 포함되어 변환된 일변량 위험을 이용하여 추정한다. Hong 등 (2016)은 다변량 분위벡터를 바탕으로 Vector at Risk를 정의하였으며, 특정한 포트폴리오가 설정되면 Vector at Risk 중의 한 점을 최적의 VaR 즉, 대안적인 VaR (AVaR)로 제안하였다. 본 연구에서는 다변량 정규분포에 대하여 AVaR의 특성을 탐색한다. 여러 종류의 분산공분산 행렬과 다양한 포트폴리오 가중값 벡터인 경우의 이변량과 삼변량의 정규분포를 따르는 모의실험 자료와 실증예제를 이용하여 대안적인 최대손실금액인 AVaR을 구하고 VaR과 비교 분석한다. 다변량 분위벡터를 이용한 AVaR는 VaR보다 작게 추정함을 발견하였으며, 이런 특징과 함께 AVaR의 특성을 토론한다. The most useful financial risk measure may be VaR (Value at Risk) which estimates the maximum loss amount statistically. The VaR tends to be estimated in many industries by using transformed univariate risk including variance-covariance matrix and a specific portfolio. Hong et al. (2016) are defined the Vector at Risk based on the multivariate quantile vector. When a specific portfolio is given, one point among Vector at Risk is founded as the best VaR which is called as an alternative VaR (AVaR). In this work, AVaRs have been investigated for multivariate normal distributions with many kinds of variance-covariance matrix and various portfolio weight vectors, and compared with VaRs. It has been found that the AVaR has smaller values than VaR. Some properties of AVaR are derived and discussed with these characteristics.

RAINDROP PLOT을 이용한 차원축소

홍종선,김범준,박지용,Hong C. S.,Kim B. J.,Park J. Y. 한국통계학회 2005 응용통계연구 Vol.18 No.2

범주형 자료분석에서 차원축소(collapsibility)는 오즈비로 설명되었다. 실제의 $2{\times}2{\times}K$ 분할표 자료를 이 이론에 적응시켰을 때 오즈비의 값으로 차원축소가 가능한지의 여부를 판단하기는 어렵다. 오즈비를 시각적으로 표현하는 방법 중에서 Doi, Nakamura와 Yamamoto(2001)가 제안한 Contour plot을 통해서 분할표 자료를 설명하는 것은 가능하지만 차원축소의 가능성을 결정하기에는 한계가 있다. 본 연구에서는 오즈비의 신뢰구간을 시각적으로 표현할 수 있는 방법으로 Barrowman과 Myers(2003)가 제안한 Raindrop plot을 이용하여 $2{\times}2{\times}K$ 분할표 자료를 설명할 수 있으며 동시에 차원축소의 가능성을 판단할 수 있는 방법을 제안하고자 한다. For categorical data analysis, the collapsibility were explained with the odds ratio (cross-product ratio). When these theories with these odds ratios are applied to real $2{\times}2{\times}K$ contingency tables, it is impossible to decide whether data are collapsible. Among graphical methods to represent odds ratios, Contour plot which is developed by Doi, Nakamura and Yamamoto (2001) could explain the structure of these data, but cannot decide on the collapsibility. In this paper, by using the Raindrop plot proposed by Barrowman and Myers (2003), we suggest an alternative method which can not only explain the structure of data, but also decide on the collapsibility.

비용곡선과 ROC곡선에서의 비용비율

홍종선,유현상,Hong, Chong-Sun,Yoo, Hyun-Sang 한국통계학회 2010 Communications for statistical applications and me Vol.17 No.6

혼합분포의 분류문제에서 비용함수를 고려한 분류점은 최소 기대비용이라는 측면에서 최적이다. 비용에 관한 어떠한 정보가 주어지지 않은 경우에 ROC곡선을 이용하여 분류정확도 측도인 전체정확도와 진실율이 최대일 때의 분류점에 대응하는 기대비용에서의 비용비율을제안하고, 최소 기대비용의 비용비율과의 관계를 설명한다. 그리고 비용곡선을 이용하여 분류정확도 측도들에 기반하는 최소 기대비용에서의 비용비율을 제안하였고 이 비용비율은 대표적인 두 종류의 분류정확도가 최대일 때의 기대비용에 대한 비용비율들 사이에 존재하며, 최소 기대비용에서의 비용비율에 수렴하는 것을 발견하였다. 본 연구는 기대비용과 정규화된 기대비용을 최소화할 때의 비용비율과 분류정확도가 최대일 때의 비용비율들의 관계를 토론한다. For classification problems on mixture distribution, a threshold based on cost functions is optimal from the viewpoint of a minimum expected cost. Assuming that there is no cost information, we propose cost ratios in the expected cost corresponding to thresholds where the total accuracy and the true rate are maximized to explain the relation of these cost ratios minimizing the expected cost. Other cost ratios are also proposed by comparing the normalized expected costs when classification accuracy is maximized. The values of these cost ratios are located between two cost ratios for the expected costs based on classification accuracies, and converge to that of the minimum expected cost. This work suggests two cost ratios: one is minimized by the expected cost and the normalized expected cost, and the other in the expected cost and the normalized expected cost functions that are maximized classification accuracies. We discuss their compatibility based on the relation of these cost ratios.

로지스틱 회귀모형에서의 SUPPRESSION

홍종선,김호일,함주형,Hong C. S.,Kim H. I.,Ham J. H. 한국통계학회 2005 응용통계연구 Vol.18 No.3

로지스틱 회귀모형에서 suppression의 논의는 선형회귀의 논의보다 많지 않은데 그 이유 중의 하나는 회귀제곱합 또는 결정계수의 정의가 유일하지 않고 다양하기 때문이다. 여러 종류의 결정계수들 중에서 선호되는 두 종류의 결정계수와 Liao와 McGee(2003)가 제안한 두 종류의 수정 결정계수의 정의로부터 회귀제곱합을 유도하여 로지스틱 회귀모형에서의 suppression을 설명하고자 한다. 모의실험을 통하여 자료를 생성하여 어떤 경우에 suppression이 발생하는지를 살펴보고 그 결과를 선형회귀모형에서의 suppression 결과와 비교한다. The suppression for logistic regression models has been debated no longer than that for linear regression models since, among many other reasons, sum of squares for regression (SSR) or coefficient of determination ($R^2$) could be defined into various ways. Based on four kinds of $R^2$'s: two kinds are most preferred, and the other two are proposed by Liao & McGee (2003), four kinds of SSR's are derived so that the suppression for logistic models is explained. Many data fitted to logistic models are generated by Monte Carlo method. We explore when suppression happens, and compare with that for linear regression models.

범주형 재무자료에 대한 신용평가모형 검증 비교

홍종선,이창혁,김지훈,Hong, Chong-Sun,Lee, Chang-Hyuk,Kim, Ji-Hun 한국통계학회 2008 Communications for statistical applications and me Vol.15 No.4

재무자료에 대한 신용평가모형은 각각의 재무변수를 평활한 예측부도율로 변환하여 사용한다. 본 연구에서는 연속형 재무자료를 변환하여 설정된 신용평가모형의 문제점을 살펴보고, 연속형 재무변수를 다양한 형태로 범주화한 신용평가모형들을 제안한다. 범주형 재무자료를 사용해서 개발한 여러 종류의 신용평가모형들의 성과를 다양한 적합성 검증 방법으로 비교하고, 범주형 재무자료를 이용한 신용평가모형의 유용성을 토론한다. Current credit evaluation models based on only financial data except non-financial data are used continuous data and produce credit scores for the ranking. In this work, some problems of the credit evaluation models based on transformed continuous financial data are discussed and we propose improved credit evaluation models based on categorized financial data. After analyzing and comparing goodness-of-fit tests of two models, the availability of the credit evaluation models for categorized financial data is explained.

혼합분포에서 최적분류점

홍종선,주재선,최진수,Hong, Chong-Sun,Joo, Jae-Seon,Choi, Jin-Soo 한국통계학회 2010 응용통계연구 Vol.23 No.1

혼합분포를 가정한 신용평가연구에서 부도차주를 정상으로 예측하거나 정상차주를 부도로 예측하는 오류를 최소화하는 분류점을 추정하는 방법을 토론한다. 확률변수 스코어와 정상과 부도상태의 모수공간으로 정의된 확률밀도함수들에 대하여 강력검정과 일반화가능도비검정을 이용하여 최적분류점의 추정방법을 제안하고, ROC와 CAP 곡선에서 분류정확도를 측정하는 정확도(accuarcy)와 진실율(true rate)을 이용하여 이 측도를 최대로 하는 최적분류점을 확률밀도함수의 관계식으로 추정하는 방법을 제안한다. 다양한 정규분포에서 가설검정, 정확도 그러고 진실율을 이용하는 세가지 방법의 최적분류점을 구하고 각최적분류점에 대응하는 제 I 종과 제 II 종 오류합의 크기를 비교하여 효율성을 토론한다. Assuming a mixture distribution for credit evaluation studies, we discuss estimating threshold methods to minimize errors that default borrowers are predicted as non defaults or non defaults are regarded as defaults. A method by using statistical hypotheses tests, the most powerful test and generalized likelihood ratio test, for the probability density functions which are defined with the score random variable and the parameter space consisted of only two elements such as the default and non default states is proposed to estimate a threshold. And anther optimal thresholds to maximize classification accuracy measures of the accuracy and the true rate for ROC and CAP curves are estimated as equations related with these probability density functions. Three kinds of optimal thresholds in terms of the hypotheses testing, the accuracy and the true rate are obtained from normal random samples with various means and variances. The sums of the type I and type II errors corresponding to each optimal threshold are obtained and compared. Finally we discuss about their efficiency and derive conclusions.

조정된 ROC와 CAP 곡선

홍종선,김지훈,최진수,Hong, Chong-Sun,Kim, Ji-Hun,Choi, Jin-Soo 한국통계학회 2009 응용통계연구 Vol.22 No.1

Among others, ROC and CAP curves are used to explore the discriminatory power between the defaults and non-defaults, based on the distribution of the probability of default in credit rating works. ROC and CAP curves are plotted in terms of various ratios of the probability of default. Each point on ROC and CAP curves is calculated according to cutting points (scores) for classifying between defaults and non-defaults. In this paper, adjusted ROC and CAP curves are proposed by using functions of ratios of the probability of default. It is possible to recognize the score corresponding to a point oil these adjusted curves, and we can identify the best score to show the optimal discriminatory power. Moreover, we discuss the relationships between the best score obtained from the adjusted ROC and CAP curves and the score corresponding to Kolmogorov - Smirnov statistic to test the homogeneous distribution functions of the defaults and non-defaults. 신용평가 연구에서 부도율분포를 기반으로 부도기업과 정상기업의 판별력을 탐색하는 방법 중의 하나로 ROC와 CAP 곡선을 사용한다. 부도와 정상기업을 분류하는 절단점의 변동에 따라 구한 여러 부도비율을 통해 ROC와 CAP 곡선을 작성하는데 곡선의 각 좌표에 대응하는 절단점을 탐색하기 어렵다. 본 연구에서는 ROC와 CAP 곡선을 나타내는 부도비율들의 함수를 이용하여 조정된 ROC와 CAP곡선을 제안한다. 조정된 ROC와 CAP 곡선을 통해 절단점과의 관계를 파악할 수 있으며, 최적의 절단점을 식별할 수 있다. 또한 부도와 정상기업에 관한 분포함수의 동일성을 검정하는 Kolmogorov - Smirnov 통계량과 조정된 ROC와 CAP 곡선을 통해 얻은 최적 절단점의 관계를 토론한다.

신용평가에서 두 분포의 동일성 검정에 대한 수정통계량

홍종선,박하수,Hong, C.S.,Park, H.S. 한국통계학회 2009 응용통계연구 Vol.22 No.2

신용평가 연구에서 부도와 정상의 분포함수들의 동일성을 검정하는 비모수적 방법으로 Kolmogorov-Smirnov 검정법 이외에 Clamor-Yon Mises, Anderson-Darling, Watson 검정방법을 소개한다. 부도와 정상의 분포함수들의 선형결합된 부도율의 분포함수에 관한 전체적인 정보는 파악되어 잘 알고 있다. 모집단의 분포함수를 알고 있다는 가정 하에 Clamor-Von Mises, Anderson-Darling, Watson 검정통계량의 수정통계량을 제안한다. 신용평가자료와 유사한 성격을 갖는 다양한 부도율의 확률분포로부터 스코어를 생성하여 본 연구에서 제안한 수정통계량을 비교 토론한다. The probability of default on the credit evaluation study is represented as a linear combination of two distributions of default and non-default, and the distribution of the probability of default are generally known in most cases. Except the well-known Kolmogorov-Smirnov statistic for testing the identity of two distribution, Kuiper, Cramer-Von Mises, Anderson-Darling, and Watson test statistics are introduced in this work. Under the assumption that the population distribution is known, modified Cramer-Von Mises, Anderson-Darling, and Watson statistics are proposed. Based on score data generated from various probability density functions of the probability of default, the modified test statistics are discussed and compared.

ROC와 CAP 곡선에서의 최적 분류점

홍종선,최진수,Hong, Chong-Sun,Choi, Jin-Soo 한국통계학회 2009 응용통계연구 Vol.22 No.5

신용평가 연구에서 부도와 정상차주에 대한 판별력을 평가하는 방법으로 Receiver Operating Characteristic(ROC)와 Cumulative Accuracy Profile(CAP) 곡선을 사용한다. ROC 곡선에서 최적의 분류정확도를 갖는 분류점과 CAP 곡선에서 최대의 이익을 나타내는 분류점은 일반적인 정확도의 개념으로 정의된 동일한 성과를 가진 접선을 사용하여 구한다. 본 연구에서는 정확도의 대안적인 측도로 진실율을 제안하고, 이 진실율을 이용하여 ROC와 CAP 곡선에서 대안적인 최적의 분류점을 구한다. 대부분 실제 차주의 모집단에서 부도차주는 정상차주보다 훨씬 수가 적다. 이러한 경우에 진실율은 정확도보다 비용함수의 측면에서 더욱 효율적일 수 있다. 진실율을 이용하여 최적의 분류정확도를 나타내는 분류점과 최대의 이익을 의미하는 분류점에 대응하는 스코어는 동일하다는 것을 보였으며, 이 스코어는 부도와 정상 차주의 분포함수의 동일성을 검정하는 Kolmogorov-Smirnov 통계량에 대응하는 스코어와도 일치하는 것을 발견하였다. Receiver Operating Characteristic(ROC) and Cumulative Accuracy Profile(CAP) curves are two methods used to assess the discriminatory power of different credit-rating approaches. The points of optimal classification accuracy on an ROC curve and of maximal profit on a CAP curve can be found by using iso-performance tangent lines, which are based on the standard notion of accuracy. In this paper, we offer an alternative accuracy measure called the true rate. Using this rate, one can obtain alternative optimal threshold points on both ROC and CAP curves. For most real populations of borrowers, the number of the defaults is much less than that of the non-defaults, and in such cases the true rate may be more efficient than the accuracy rate in terms of cost functions. Moreover, it is shown that both alternative scores of optimal classification accuracy and maximal profit are the identical, and this single score coincides with the score corresponding to Kolmogorov-Smirnov statistic used to test the homogeneous distribution functions of the defaults and non-defaults.

AUC 차이를 이용한 미결정자 추론방법

홍종선,나해린,Hong, Chong Sun,Na, Hae Rin 한국통계학회 2021 응용통계연구 Vol.34 No.2

미결정자 추론을 재평가하기 위해 기존 변수에 새로운 변수들을 추가하는 통계 모형이 필요하다. 미결정자와 결정자의 양성률은 다르게 계산되기 때문에 MNAR 가정이 필요하다. 본 연구에서는 두 통계적 모형이 계층 관계를 가지고 있으므로, 두 AUC 차이의 신뢰구간을 이용하여 MNAR 가정하에서 미결정자를 추론한다. AUC 차이 신뢰구간의 추정방법 중에서 모의실험을 통하여 네 종류의 방법의 성능이 우수함을 발견하였다. 그리고 네 종류의 방법을 바탕으로 로지스틱 회귀를 이용한 미결정자 추론에 도움이 되는 변수를 선택하는 방법을 제안한다. A new statistical model needs additional variables in order to re-evaluate the undecided inference. Then the MNAR assumption is required, since the probabilities for the positivity of the indeterminant and the determinant is calculated differently. In this study, since two statistical models have a hierarchical relationship, we determine the undecided inference under the MNAR assumption using the confidence interval of the difference between two AUCs. Among many methods of estimating the confidence interval of the AUC difference, it is found that four kinds of methods show excellent performance through simulations. And based on these methods, we propose a variable selection method that are useful for the undecided inference using logistic regression models.