Nonparametric detection of a discontinuity point in the variance function with the second moment function

허집 한국데이터정보과학회 2005 한국데이터정보과학회지 Vol.16 No.3

In this paper we consider detection of a discontinuity point in the variance function. When the mean function is discontinuous at a point, the variance function is usually discontinuous at the point. In this case, we had better estimate the location of the discontinuity point with the mean function rather than the variance function. On the other hand, the variance function only has a discontinuity point. The target function in order to estimate the location can be used the second moment function since the variance function and the second moment function have the same location and jump size of the discontinuity point. We propose a nonparametric detection method of the discontinuity point with the second moment function. We give the asymptotic results of these estimators. Computer simulation demonstrates the improved performance of the method over the existing ones. 지금까지 회귀모형에서 불연속점의 추정은 주로 평균함수에 대해 연구되어져 왔다. 분산함수는 평균함수와 더불어 회귀모형의 연구에 매우 중요한 함수이며 이 함수가 불연속일 때의 연구는 활발히 이루어지지 않았다. Delgado와 Hidalgo (2000)와 Perron (2001)은 시계열모형에서는 비모수적 추정법에 의해 분산함수의 추정을 연구하였다. Huh와 Kang (2004)은 Perron의 추정법을 회귀모형에 적용하여 분산함수의 불연속점의 추정에 대하여 연구하였고, Perron의 추정량보다 수렴속도가 개선된 불연속점 추정량을 제안하였다. 이러한 분산함수의 추정들은 잔차의 제곱을 이용한 것으로 평균함수의 추정이 필수적이다. 결국, 전체적인 계산량이 늘어나게 되고, 늘어난 만큼 불연속점 추정의 정도가 떨어지게 될 것이다. 만약, 평균함수가 연속이고 분산함수만 불연속이라면 굳이 잔차를 이용하여 분산함수의 불연속점을 추정할 필요 없다. 분산함수만 불연속점을 가지므로 이차적률함수의 불연속점이 곧 분산함수의 불연속점이므로 이차함수의 불연속점을 추정하는 것으로 충분하다. 평균함수와 분산함수 모두 불연속이라면 불연속점의 위치가 같으므로 평균함수의 불연속점의 위치를 추정하면 분산함수의 불연속점의 위치를 추정하게 되는 것이다. 따라서 이 논문에서는 이차적률함수의 불연속점을 추정하는 방법을 제안하였고 이 제안된 추정량들의 수렴속도가 잔차를 이용한 Huh와 Kang의 분산함수의 불연속점 추정량의 수렴속도와 같음을 보였고, 모의실험 결과에서는 우수함을 보여주었다.

가능도함수를 이용한 불연속점 수의 추정

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2010 한국데이터정보과학회지 Vol.21 No.1

일반화선형모형에서 회귀함수가 하나의 불연속점을 가질 때, Huh (2009)는 하나의 모수를 가지는 지수족의 가능도함수를 한쪽방향커널을 이용하여 그 불연속점의 위치와 점프크기를 추정하였다. 이 논문에서는 미지의 불연속점 수 q개를 가지는 회귀함수인 경우에, Huh (2009)가 제안한 점프크기 추정량의 점근분포를 이용한 가설검정법을 소개하고, 그 가설검정법을 이용한 불연속점 수를 추정하는 알고리듬을 제안하고, 모의실험을 통하여 추정의 정도를 알아보고자 한다. In the case that the regression function has a discontinuity point in generalized linear model, Huh (2009) estimated the location and jump size using the log-likelihood weighted the one-sided kernel function. In this paper, we consider estimation of the unknown number of the discontinuity points in the regression function. The proposed algorithm is based on testing of the existence of a discontinuity point coming from the asymptotic distribution of the estimated jump size described in Huh (2009). The finite sample performance is illustrated by simulated example.

불연속 로그분산함수의 커널추정량들의 비교 연구

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2014 한국데이터정보과학회지 Vol.25 No.1

분산함수가 불연속인 경우 Kang과 Huh (2006)는 잔차제곱을 이용한 Nadaraya-Watson 추정량으로 분산함수를 추정하였다. 음의 실수 값도 가질 수 있는 로그분산함수를 추정 대상으로 하여, 오차제곱의 분포를 ${\chi}^2$-분포로 가정하고 국소선형적합을 이용한 불연속 로그분산함수의 추정이 Huh(2013)에 의해 연구되었다. Chen 등 (2009)은 연속인 로그분산함수를 로그잔차제곱을 이용한 국소선형적합으로 추정하였다. 본 연구는 Chen 등의 추정법을 이용하여 불연속인 로그분산함수의 추정량을 제시하였다. 기존의 제안된 불연속인 로그분산함수의 추정량들과 제안된 추정량을 모의실험을 통하여 비교연구하고자 한다. 한편, 로그분산함수가 연속이지만 그 미분된 함수가 불연속일 경우, Huh (2013)의 방법과 제안된 방법으로 적합된 국소선형의 기울기를 이용하여 불연속인 미분된 로그 분산함수의 추정량을 제시하고자 한다. 이들 추정량의 비교 연구 또한 모의실험을 통하여 제시하고자 한다. In the regression model, Kang and Huh (2006) studied the estimation of the discontinuous variance function using the Nadaraya-Watson estimator with the squared residuals. The local linear estimator of the log-variance function, which may have the whole real number, was proposed by Huh (2013) based on the kernel weighted local-likelihood of the ${\chi}^2$-distribution. Chen et al. (2009) estimated the continuous variance function using the local linear fit with the log-squared residuals. In this paper, the estimator of the discontinuous log-variance function itself or its derivative using Chen et al. (2009)'s estimator. Numerical works investigate the performances of the estimators with simulated examples.

커널형 다변량 확률밀도함수의 추정과 사례연구

허집,김동숙 덕성여자대학교 자연과학연구소 2005 자연과학 논문집 Vol.11 No.-

본 연구에서는, 이론적으로 이해하기 쉬우며 실제 자료분석에서도 널리 활용되고 있는 커널함수(kemel function)를 이용한 비모수적 함수추정(nulparametric functionestimation) 방법으로 다변량 확률밀도함수(multivariate probability density function)를 추정하는 방법과 평활량 결정에 큰 영향을 미치는 평활모수(smoothiug parameter)인 띠폭(bandwidth) 선택법에 대해 보편적으로 이용되는 least square cross-valilion 방법을 소개하고, 실제의 예로써 신생아의 키와 몸무게의 이차원 확률밀도함수를 추정하고 모수적(parametric) 방법을 이용하여 추정한 확률밀도함수와 비교 연구하였다.

커널형 확률밀도함수 추정과 사례연구

허집,김순환 덕성여자대학교 자연과학연구소 2004 자연과학 논문집 Vol.10 No.-

비모수적(nonparametric) 확률밀도함수(probability density function) 추정 중 커널 함수(kernel function)를 이용한 추정법과 이때 평활량 결정에 큰 영향을 미치는 평활모수(smoothing parameter)인 띠폭(bandwidth) 선택법에 대해 보편적으로 이용되는 least square cross-validation 방법을 소개하고, 초등학생들의 비만도를 이용하여 각 학년별로 커별형 확률밀도함수를 추정해 보고자 한다. 또한, 모수적인 방법을 이용한 확률밀도함수 추정과 비교해 보고자 한다.

균등분포에서 그룹별 표본중앙값들의 중앙값의 극한분포

허집 덕성여자대학교 자연과학연구소 2003 자연과학 논문집 Vol.9 No.-

임의의 모집단이 균등분포를 따를 때 이모집단에서 추출된 랜덤표본(random sample)을 X_ij(i=1, ···, K;j=1, ···,n)라 하자. 여기서 i는 그룹의 지표(index)이며, j는 그룹내의 지표이다. 이 논문에서는 그룹의 수 n과 그룹내의 표본 수 K가 무한히 커질 때, X_ij 전체의 표본중앙값(sample median)과 그룹들 각각의 표본중앙값들의 중앙값과의 차이가 수렴하는 극한분포를 알아본다. 또한, 그 두 종류의 표본중앙값의 차이의 신뢰구간을 수렴하는 극한분포를 이용하여 제시해 본다.

이차적률함수와 분산함수를 이용한 불연속점의 가설검정에 관한 비교연구

허집 덕성여자대학교 자연과학연구소 2007 자연과학 논문집 Vol.13 No.-

회귀모형(regression model)의 분산함수(variance function)가 불연속인 경우는 회귀함수(regression function)/평균함수(mean function)가 불연속이기 때문일 수도 있고, 회귀함수는 연속이고 분산함수 자체가 불연속이기 때문일 수도 있다. 이러한 두 경우에 대하여 분산함수가 불연속점을 가지는지에 대하여 커널함수를 이용한 불연속점의 점프의 크기 추정량의 점근분포를 이용한 통계적 가설검정 방법들을 살펴보고 모의실험을 통하여 검정의 크기(size of test)와 검정력(power of test)을 비교 연구하고자 한다.

불연속 함수인 평균함수와 분산함수와의 관계에 관한 연구

허집 덕성여자대학교 자연과학연구소 2006 자연과학 논문집 Vol.12 No.-

회귀모형(regression model)에서 분산함수(variance function)는 오차항(error term)의 분산함수에서 기인한 것이다. 본 연구에서는, 지금까지 연구되어진 불연속인 평균함수/회귀함수(mean function/regression function)의 불연속점의 위치 (location)와 점프의 크기(jump size)를 한쪽방향커널(One-sided kernel)을 이용한 비모수적 추정(nonparametric estimation) 기법을 이용하여 회귀모형의 분산함수가 어떠한 유형인가에 따라 평균함수의 불연속점의 위치와 점프의 크기의 추정의 정도의 변화가 이루어지는지를 모의실험을 통하여 연구하고자 한다.

가능도함수를 이용한 로그분산함수의 불연속점 검정

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2009 한국데이터정보과학회지 Vol.20 No.1

회귀모형의 분산함수가 알려져 있지 않은 한 점에서 불연속이라 가정하자. Yu와 Jones (2004)는 음이 아닌 값을 취하는 분산함수를 실수 값을 취하도록 하기 위하여 로그 변환하였고, 변환된 로그분산함수를 국소다항적합으로 추정하였다. 로그분산함수의 국소다항적합을 이용하여, Huh (2008)는 분산함수의 불연속점의 추정하는 대신 로그분산함수의 불연속점을 추정하였다. 본 연구는 Huh의 점프의 크기 추정량의 점근분포를 이용하여 로그분산함수의 불연속점의 존재여부에 대한 가설검정을 제안하고, 제안한 방법에 대한 모의실험 결과를 제시하고자 한다. Let us consider that the variance function in regression model has a discontinuity/change point at unknown location. Yu and Jones (2004) proposed the local polynomial fit to estimate the log-variance function which break the positivity of the variance. Using the local polynomial fit, Huh (2008) estimate the discontinuity point of the log-variance function. We propose a test for the existence of a discontinuity point in the log-variance function with the estimated jump size in Huh (2008). The proposed method is based on the asymptotic distribution of the estimated jump size. Numerical works demonstrate the performance of the method.

확률밀도함수의 불연속점 추정을 위한 띠폭 선택

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2012 한국데이터정보과학회지 Vol.23 No.1

Huh (2002)는 확률밀도함수가 하나의 불연속점을 가질 때, 한쪽방향커널함수를 이용하여 확률 밀도함수의 오른쪽과 왼쪽 커널추정량을 제시하여 그 차를 최대로 하는 점을 불연속점의 위치추정량으로 제안하였다. 커널추정량의 평활모수인 띠폭의 선택의 중요함은 익히 알려져 있다. 최대가능도 교차타당성은 확률밀도함수의 커널추정량에서 띠폭 선택의 기준으로 널리 쓰여지고 있다. 본 연구에서는 한쪽방향커널함수를 이용한 확률밀도함수의 오른쪽과 왼쪽 커널추정량들의 띠폭의 선택 방법을 Hart와 Yi (1998)의 한쪽방향교차타당성의 방법론을 최대가능도교차타당성에 적용하여 제안하고자 한다. 소표본 모의실험을 통하여 연구결과를 제시하고자 한다. In the case that the probability density function has a discontinuity point, Huh (2002) estimated the location and jump size of the discontinuity point based on the difference between the right and left kernel density estimators using the one-sided kernel function. In this paper, we consider the cross-validation, made by the right and left maximum likelihood cross-validations, for the bandwidth selection in order to estimate the location and jump size of the discontinuity point. This method is motivated by the one-sided cross-validation of Hart and Yi (1998). The finite sample performance is illustrated by simulated example.