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계면경계를 갖는 포텐셜 문제 해석을 위한 내적확장된 이동최소제곱 유한차분법
윤영철,이상호,Yoon, Young-Cheol,Lee, Sang-Ho 한국전산구조공학회 2009 한국전산구조공학회논문집 Vol.22 No.5
This study presents an extended finite difference method based on moving least squares(MLS) method for solving potential problems with interfacial boundary. The approximation constructed from the MLS Taylor polynomial is modified by inserting of wedge functions for the interface modeling. Governing equations are node-wisely discretized without involving element or grid; immersion of interfacial condition into the approximation circumvents numerical difficulties owing to geometrical modeling of interface. Interface modeling introduces no additional unknowns in the system of equations but makes the system overdetermined. So, the numbers of unknowns and equations are equalized by the symmetrization of the stiffness matrix. Increase in computational effort is the trade-off for ease of interface modeling. Numerical results clearly show that the developed numerical scheme sharply describes the wedge behavior as well as jumps and efficiently and accurately solves potential problems with interface. 본 연구는 계면경계를 갖는 포텐셜 문제의 해석를 위한 이동최소제곱 기반의 확장된 유한차분법을 제시한다. 이동최소제곱법을 이용한 Taylor 전개로부터 얻어진 근사함수에 쐐기함수를 도입하여 계면경계의 특이성을 모사한다. 지배방정식은 요소나 그리드없이 절점만을 이용해 이산화한다. 계면경계의 특이성은 절점에서 구성되는 근사식에 매입되기 때문에 계면경계의 기하학적 모델링으로 발생하는 수치적인 어려움을 피할 수 있다. 계면경계 조건으로 인해 전체 계방정식에 추가되는 미지수는 없지만, 계방정식을 과결정 시스템으로 만드므로 강성도 행렬을 대칭화하여 미지수와 방정식의 개수를 일치시켰다. 이로 인한 계산량 증가는 계면경계 모델링의 간소화로 인한 수치적인 이득과 맞바꿀 수 있다. 다양한 수치적 검증을 통해 개발된 해석기법이 쐐기거동과 점프를 성공적으로 묘사할 뿐만 아니라 계면경계를 갖는 포텐셜 문제 효율적이고 정확하게 해석할 수 있음을 보였다.
1차원 자유경계문제의 해석을 위한 Implicit 이동최소제곱 차분법
윤영철,Yoon, Young-Cheol 한국전산구조공학회 2012 한국전산구조공학회논문집 Vol.25 No.5
This paper presents an implicit moving least squares(MLS) difference method for improving the solution accuracy of 1-D free boundary problems, which implicitly updates the topology change of moving interface. The conventional MLS difference method explicitly updates the moving interface; it requires no iterative solution procedure but results in the loss of accuracy. However, the newly developed implicit scheme makes the total system nonlinear involving iterative solution procedure, but numerical verification show that it dramatically elevates the solution accuracy with moderate computation increase. Through numerical experiments for melting problems having moving singularity, it is verified that the proposed method can achieve the second order accuracy. 본 논문은 1차원 자유경계문제 해석의 정확도 향상을 위해 이동최소제곱 차분법을 이용하여 이동경계의 위상변화를 implicit하게 추적하는 기법을 제시한다. 기존의 이동최소제곱 차분법은 이동경계의 위치를 explicit하게 진전시켜 반복계산은 필요없지만 해의 정확도 감소를 피할 수 없었다. 그러나 본 연구에서 제시한 implicit 기법은 전체 계방정식이 비선형 시스템이 되어 반복계산 과정이 필요하지만, 실제로 수치예제를 통해 검증해 본 결과 계산량의 큰 증가없이 해석의 정확도를 획기적으로 향상시켰다. 이동하는 미분불연속 특이성을 갖는 융해(melting)문제를 수치계산한 결과, implicit 이동최소제곱 차분법을 통해 2차정확도를 얻을 수 있음을 보였다.
복합 불연속면을 갖는 포텐셜 문제 해석을 위한 확장된 MLS 차분법
윤영철,노혁천,Yoon, Young-Cheol,Noh, Hyuk-Chun 한국전산구조공학회 2011 한국전산구조공학회논문집 Vol.24 No.5
본 논문은 복합 불연속면을 갖는 포텐셜 문제의 해석을 위해 확장된 MLS(Moving Least Squares) 차분법을 제시한다. 계면경계를 따라 해(solution)와 수직방향, 접선방향 미분들이 모두 불연속 특이성을 나타내는 복합 불연속면을 묘사하기 위해 계단함수, 쐐기함수, 가위함수와 같은 불연속 특이함수를 추가하여 기존의 MLS 차분법을 개선했다. 계면경계조건은 기지의 조건으로서 지배방정식의 이산화과정에서 추가의 미지계수를 발생시키지 않는다. 포아송 방정식 형태의 지배미분 방정식을 풀기 위해 내부영역과 경계에 절점을 배치하고 차분식을 구성한다. 차분식을 조립한 계 방정식을 직접 풀기 때문에 계산효율성이 매우 우수하다. 수치예제는 제시된 해석기법의 우수성을 잘 보여주며, 균열전파, 이동경계, 상호작용 문제 등 다양한 불연속 문제로의 확장이 기대된다. This paper provides a novel extended Moving Least Squares(MLS) difference method for the potential problem with weak and strong discontinuities. The conventional MLS difference method is enhanced with jump functions such as step function, wedge function and scissors function to model discontinuities in the solution and the derivative fields. When discretizing the governing equations, additional unknowns are not yielded because the jump functions are decided from the known interface condition. The Poisson type PDE's are discretized by the difference equations constructed on nodes. The system of equations built up by assembling the difference equations are directly solved, which is very efficient. Numerical examples show the excellence of the proposed numerical method. The method is expected to be applied to various discontinuity related problems such as crack problem, moving boundary problem and interaction problems.