KTB-IRS 스프레드를 이용한 국고채 변동성 추정과 볼록성 조정 : G2++ 모형 기반 접근 = Volatility Estimation and Convexity Adjustment for Korean Treasury Bonds Using the KTB-IRS Spread: A G2++ Based Approach

국문 초록 (Abstract)

최근 IFRS-17 및 K-ICS의 도입으로 금융기관의 자산·부채 종합관리(Asset Liability Management, ALM)의 중요성이 커지면서, 장기 국고채(Korea Treasury Bond, KTB) 파생상품에 대한 가치 평가 수요가 증가하고 있다. 그러나 국내 금융시장에서는 국고채를 기초자산으로 하는 옵션 시장이 사실상 부재하여, 파생상품 평가에 필수적인 KTB내재 변동성(Implied Volatility)을 시장에서 직접 관측하기 어려운 한계가 존재한다. 이에 이자율 스왑(Interest Rate Swap, IRS)의 스왑션 변동성을 준용하는 방식이 존재하나, IRS는 단기 자금 조달 금리인 CD(Certificate of Deposit)91일물 금리에 연동되어 스왑 시장 고유의 유동성 동인(Dynamics)을 따르는 반면, 파생상품의 기초자산인 국고채는 국가 신용도와 현물 채권 시장의 수급에 의해 변동성이 결정된다. 즉, 단기 자금 시장의 리스크가 반영된 IRS의 내재 변동성이 국고채보다 구조적으로 높게 형성될 수밖에 없으므로, IRS스왑션 변동성을 그대로 준용할 경우 볼록성 조정(Convexity Adjustment) 값이 과대 측정될 위험이 있다. 본 연구는 이러한 한계를 극복하고자 G2++(Gaussian 2-Factor) 모형의 구조적 프레임워크를 기반으로 KTB와 IRS 간의 스프레드(Spread)를 분리하여 KTB의 내재 변동성을 역산하는 대안적 접근법을 제안한다. 구체적으로, IRS 변동성을 Hull-White 모형으로 캘리브레이션 한 뒤, KTB 옵션 데이터의 부재를 보완하기 위해 각 테너별 3개월 선도금리의 252영업일의 역사적 데이터를 활용하여 KTB와 IRS, 그리고 IRS와 Spread 간의 상관계수를 추정하였다. 최종적으로 도출된 상관계수와 두 금리 간의 이차변동(Quadratic Variation) 관계식을 결합하고, 해 찾기 기법을 적용하여 KTB의 내재 변동성을 간접적으로 도출하였다. 제안된 방법론의 타당성을 검증하기 위해 KTB CMT Swap (3Y vs 20Y) 상품을 평가 대상으로 선정하고, 스프레드의 크기와 방향성(양의 스프레드, 음의 스프레드, 제로 스프레드)에 따라 5개의 구간을 나누어 실증 분석을 수행하였다. 분석결과, 1) 현금흐름 할인 모형(Discounted Cash Flow, DCF), 2) G2++ 추정 변동성 적용, 3) IRS변동성 준용의 세 가지 평가 방식에서 DCF < G2++ < IRS의 순서로 금리가 일관되게 산출되었다. 이는 변동성을 0으로 가정하는 DCF방식이 볼록성 조정을 전혀 반영하지 못해 가장 낮은 값을 보인 반면, IRS변동성을 그대로 적용할 경우 기초자산 간의 구조적 차이에도 불구하고 스왑 시장의 변동성이 KTB에 동일하게 전이되어 금리가 상대적으로 높게 산출됨을 보여준다. 결과적으로 본 연구에서 제안한 G2++기반의 스프레드 접근법은 특정 시장의 변동성을 직접 차용하는 대신, 금리 간의 구조적 관계를 이용하여 변동성의 구성 요소를 분해하고 재구성한다는 점에서 기존 IRS 준용 방식을 보완할 수 있는 유의미한 대안 중 하나로 활용될 수 있다. 이는 국고채 옵션 데이터가 부재한 현실적 한계 속에서, 오평가 리스크에 대비하기 위한 또 하나의 분석적 틀을 제시했다는 점에서 학술적·실무적 의의를 가진다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

With the recent implementation of IFRS-17 and K-ICS, the importance of Asset-Liability Management (ALM) in financial institutions has increased significantly, leading to an increased demand for the valuation of long-term Korea Treasury Bond (KTB) derivatives. However, the virtual absence of a KTB options market in South Korea makes it difficult to directly observe the KTB implied volatility essential for derivative pricing. While a methodology exists to adopt Interest Rate Swap (IRS) swaption volatility as a proxy, IRS rates are linked to the 91-day CD rate and follow the unique liquidity dynamics of the swap market, whereas KTB volatility is determined by sovereign creditworthiness and supply-demand in the cash bond market. Since these factors cause IRS implied volatility to be structurally higher than that of KTBs, the direct application of IRS volatility carries the inherent risk of overestimating the convexity adjustment.
To address these limitations, this study proposes an alternative approach based on the G2++(Gaussian 2-Factor) model framework to indirectly derive KTB implied volatility by isolating the spread between KTB and IRS rates. Specifically, after calibrating the IRS volatility using the Hull-White model, Historical data of 3-month forward rates across various tenors were utilized to estimate the correlations among KTB, IRS, and the spread to compensate for the lack of KTB option data. Finally, by combining the estimated correlations with the quadratic variation relationship between the two rates, the KTB implied volatility was extracted through a root-finding algorithm.
To validate the proposed methodology, an empirical analysis was conducted on KTB CMT Swaps (3Y vs 20Y), categorizing the spread into five segments based on its magnitude and direction (positive, negative, and zero spread). The results consistently demonstrated that the valuations followed the order of 1) Discounted Cash Flow(DCF), 2) G2++ estimated volatility, and 3) IRS proxy volatility (DCF<!-- Not Allowed Tag Filtered --><G2>++<!-- Not Allowed Tag Filtered --><IRS>).
These findings indicate that the DCF method yields the lowest value as it entirely fails to reflect the convexity adjustment by assuming zero volatility. Conversely, applying IRS volatility results in a relatively higher valuation because swap market volatility is transferred to the KTB despite the structural differences between the underlying assets. Consequently, the G2++ spread-based approach proposed in this study serves as a meaningful alternative that complements the conventional IRS proxy method by decomposing and reconstructing volatility components through the structural relationship between interest rates. This study holds academic and practical significance by providing an analytical framework to mitigate mispricing risks under the practical constraints of an absent KTB options market.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 초록 1
• Ⅱ. 서론 4
• 1. 연구의 배경 및 필요성· 4
• (1) IFRS-17 도입에 따른 국고채 파생상품 평가 수요 증가 4
• (2) 국내 국고채 옵션 시장의 부재 및 변동성 산출의 한계 5
• 2. 연구의 목적 및 의의 6
• (1) 기초자산 간 구조 차이에 따른 IRS 변동성 준용의 편향 가능성 검토 6
• (2) G2++모형 기반의 스프레드 접근법의 대안적 방법론으로서의 유용성 고찰 7
• Ⅲ. 연구방법 및 실험 9
• 1. 이론적 배경 9
• (1) 금리 파생상품의 볼록성 조정 개요 9
• (2) Hull-White 1-Factor 모형과 G2++모형의 구조 13
• 2. 평가 대상 및 데이터 설정 15
• (1) KTB CMT Swap (3Y vs 20Y) 상품 구조 15
• (2) 스프레드 특성에 따른 5 개 분석구간 선정 16
• 3. 변동성 캘리브레이션 및 모델링 17
• (1) IRS 변동성의 Hull-White 캘리브레이션 과정 17
• (2) 역사적 선도금리 기반의 KTB-IRS 와 IRS-Spread 상관계수 산출 18
• (3) 확률과정 내적 및 이분법을 활용한 변동성 역산 20
• (4) 다중 커브 프레임워크 및 볼록성 조정 산출 22
• Ⅳ. 연구 결과 및 분석 27
• 1. 구간별 볼록성 조정 산출 결과 27
• (1) 비교 모델 및 평가 지표 설정 27
• (2) 구간별 산출 결과 비교 28
• 2. 모델 간 차이에 대한 구조적 해석 31
• 3. 평가 결과에 대한 분석· 33
• (1) KTB-IRS 위험 구조 차이에 따른 과대측정 리스크 확인 33
• (2) G2++모형을 통한 국고채 평가의 타당성 입증 34
• (3) 만기 구조에 따른 오평가 리스크의 비선형적 확대 35
• Ⅴ. 결론 36
• 1. 연구 결과 요약 36
• 2. 연구의 한계점 및 향후 과제 37
• Ⅵ. 참고 문헌 39
• Ⅶ. 영문 초록 40