Emergent behaviors of the infinite set of weakly coupled oscillators = 약결합된 무한 진동자들의 창발 현상

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this thesis, we investigate the emergent behaviors of infinite sets of weakly coupled oscillators, with a focus on two prototypes: the Winfree model and the Lohe matrix model. Synchronization phenomena, where coupled oscillators adjust their rhythms through weak couplings, are pervasive in nature, and they have been actively studied after the pioneering works of Winfree and Kuramoto. In the first part of the thesis, we analyze the infinite Winfree model in three settings: continuous-time dynamics over a countable set of oscillators, its discrete-time analogue via the first-order Euler scheme, and the continuum model described by an integro-differential equation. For each framework, we rigorously establish sufficient conditions for the emergence of asymptotic patterns such as boundedness, quasi-steady states, equilibrium, stability and phase-locking. In particular, we show the uniform-in-time convergence of the discrete dynamics to the continuous one and the continuum limit.

In the second part, we deal with the infinite Lohe matrix model, which generalizes the Kuramoto model to the space of unitary matrices. We study the existence of quasi-steady states and the emergence of complete synchronization and state-locking under suitable conditions in terms of the system parameters and initial configuration. Our analysis reveals distinct emergent behaviors specific to the infinite-dimensional setting, which have no finite-dimensional counterparts. We employ nonlinear functionals to study relaxation phenomena to synchronized states. Overall, this thesis provides a comprehensive understanding of emergent collective dynamics in an infinite set of weakly coupled oscillators without relying on the mean-field approximation. It offers insights into synchronization, stability and convergence for first-order synchronization models.

국문 초록 (Abstract)

본 학위 논문에서는, 약결합된 무한 진동자들에서 나타나는 창발 현상에 대해 연구하며, 특히 윈프리 모델과 로헤 행렬 모델이라는 두 가지 대표적인 모델을 중심으로 분석을 수행한다. 개별 진동자들이 약한 상호작용을 통해 리듬을 조정하는 동기화 현상은 자연계 전반에 널리 퍼져 있으며, 윈프리와 쿠라모토의 선구적인 연구 이후 활발히 연구되어 왔다. 본 논문에서는 무한 크기의 윈프리 모델을 세 가지 설정, 즉 가산 집합상의 연속시간 동역학, 수치적 근사를 통한 이산시간 동역학, 그리고 적분-미분 방정식으로 기술되는 연속체 모델로 구분하여 다룬다. 이 세 가지 설정 전반에 걸쳐, 해의 유계성, 준정상 상태, 전역 평형, 초기 데이터에 대한 안정성, 그리고 위상 고정과 같은 다양한 점근적 패턴이 출현하기 위한 충분조건을 엄밀히 규명한다. 특히, 이산시간 동역학에서 연속시간 동역학으로, 그리고 연속체 한계가 균일 시간 수렴함을 증명한다.

논문의 후반부에서는 쿠라모토 모델을 단위행렬 공간으로 확장한 무한 로헤 행렬 모델을 분석한다. 이 모델에 대해 시스템 파라미터와 초기 조건에 따라 준정상 상태의 존재성, 완전 동기화 및 상태 고정 현상의 발생 조건 등을 연구한다. 무한 차원 체계에서만 나타나는 고유한 창발 현상들을 밝히며, 이는 유한 차원 체계에서는 관찰되지 않는 특징임을 보인다. 본 연구는 동기화 상태로의 수렴성을 비선형 함수적 기법을 통해 분석하였다. 본 논문은 평균장 근사에 의존하지 않고 무한 진동자들에서 나타나는 창발 현상들을 체계적으로 이해하고, 동기화, 안정성, 수렴성에 대한 새로운 통찰을 제공한다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• 1 Introduction 1
• 2 Preliminaries 8
• 2.1 Gallery of notations 8
• 2.2 Finite Winfree model 9
• 2.3 Finite Lohe matrix model 12
• 2.3.1 Homogeneous ensemble 12
• 2.3.2 Heterogeneous ensemble 13
• 2.4 Infinite Cucker--Smale model 14
• 2.4.1 Derivation of SDDI 16
• 2.4.2 Emergence of flocking 16
• 2.5 Infinite Kuramoto model 17
• 3 Infinite continuous-time Winfree model 19
• 3.1 Global well-posedness 19
• 3.2 Complete oscillator death 23
• 3.2.1 Uniform boundedness of phases 23
• 3.2.2 Finite-time transition into an attracting set 29
• 3.2.3 Quasi-steady states 32
• 3.2.4 Gradient-flow formulation 34
• 3.3 Exponential stability 36
• 3.4 Phase-locking 42
• 3.4.1 A sufficient framework and main result 43
• 3.4.2 Guiding phase flow 45
• 3.4.3 A periodic flow which bounds relative phases 47
• 3.4.4 Boundedness from the continuity argument 53
• 3.4.5 Proof of Theorem 3.4.1 55
• 4 Infinite discrete-time Winfree model 58
• 4.1 Global well-posedness 58
• 4.2 Complete oscillator death 60
• 4.2.1 Estimate of the infinite norm 60
• 4.2.2 An attractor 61
• 4.2.3 Quasi-steady states 68
• 4.3 Exponential stability 71
• 4.3.1 Existence of a non-trivial equilibrium 71
• 4.3.2 Exponential stability 73
• 4.4 Uniform-in-time transition 78
• 4.4.1 Finite-time horizon 78
• 4.4.2 Infinite horizon 80
• 5 Continuum Winfree model on the whole space 84
• 5.1 Global well-posedness 84
• 5.2 Complete oscillator death 87
• 5.2.1 Time derivative of the infinite norm 87
• 5.2.2 Complete oscillator death 91
• 5.2.3 Quasi-steady states 96
• 5.3 Exponential Stability 98
• 5.4 Phase-Locking 103
• 5.5 Uniform-in-time transition 106
• 5.5.1 Construction of approximate solutions 106
• 5.5.2 Proof of the uniform-in-time convergence to the continuum limit 109
• 6 Infinite Lohe matrix model 113
• 6.1 Preliminaries 113
• 6.1.1 Global well-posedness 114
• 6.1.2 Reduction to other aggregation models 116
• 6.2 Quasi-steady states 118
• 6.2.1 A framework 118
• 6.2.2 Preparatory lemmas 120
• 6.2.3 Proof of Theorem 6.2.1 126
• 6.3 Complete synchronization and state-locking 127
• 6.3.1 Complete synchronization 129
• 6.3.2 Orbital stability and state-locking 132
• 7 Conclusion and open problems 148
• Bibliography 149
• Abstract (in Korean) 154