학교 수학의 개념 정의가 유발하는 모호성을 소재로 한 과학영재학교 학생 대상 토론 수업 모형 개발 : 함수의 연속 개념 정의에 대한 인지적 갈등 유발 사례를 활용하여 = Development of a Discussion-Based Instruction Model for Science Gifted School Students Using Ambiguity in School Mathematics Definitions; Focusing on Cases of Cognitive Conflict in the Definition of Continuity

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to re-examine the inherent “ambiguity” that arises when the definition of “continuity of a function” in school mathematics undergoes didactic transposition from academic mathematics as a productive educational resource for students at schools for the gifted in science. Furthermore, it aims to analyze the process of students’ epistemological changes and knowledge reconstruction by developing and applying a discussion-based instruction model utilizing this ambiguity. Here, “ambiguity” refers to the concept presented by Byers (2007), which means “perceiving a single situation or idea through two or more frames of reference that are mutually incompatible but internally consistent.”
For this purpose, four design principles were derived: “design of cognitive conflict”, “critical reconstruction of concepts”, “the teacher’s role as a facilitator”, and “utilization of the cognitive characteristics of gifted students” based on theoretical foundations such as Grosholz’s (2007) theory of productive ambiguity, Alkandari’s (2025) Conceptual Definition Model (CDM), social constructivism, and Lakatos’s (1991) logic of “conjectures and refutations.” The developed instruction model consists of four stages of core questions and adopts Seo’s (2005) social constructivist instruction model, which follows a four-phase process: “subjective knowledge formation → objectification (public criticism and re-formation) → objective knowledge formation → personal re-formation.” The discussion-based instruction model was designed according to the ADDIE model, a method of instructional design. After conducting a 100-minute discussion class and stimulated recall interviews with 15 students at a school for the gifted in science, the collected data were analyzed using the constant comparative method.
The analysis results showed that students demonstrated meta-cognitive thinking and critical analysis skills through the recognition of ambiguity and the resulting cognitive conflict. Through social interaction, they refined their subjective knowledge into objective knowledge with mathematical consistency. In this process, they realized that the essence of mathematical knowledge is a flexible and adaptable “promise” rather than an absolute truth.
Based on these analysis results, the following conclusions were drawn:
First, the discussion-based instruction model utilizing ambiguity presented in this study is an effective pedagogical device that enhances gifted students' intellectual curiosity and task commitment. Students showed high levels of immersion in the process of resolving gaps in definitions rather than merely seeking correct answers, and ambiguity serves as a “productive resource” that stimulates divergent thinking. In this context, the teacher must fulfill the role of a “facilitator” who triggers discourse rather than a mere transmitter of knowledge.
Second, social interaction through discussion functions as an effective social scaffold that transitions gifted students’ subjective intuition into objective mathematical knowledge. Through verbalization within small groups and mutual criticism during whole-class discussions, students objectify knowledge and reconstruct definitions. In this process, they develop academic flexibility and bond as a collaborative inquiry community. The two-stage “objectification” structure, moving from small groups to whole-class discussions, serves as a systematic scaffold for transitioning subjective intuition into objective knowledge.
Third, the pedagogical intervention of having students critically confront the didactic transposition process of textbook definitions contributes to the formation of mature epistemological beliefs. By exploring the incompleteness of knowledge and the reasons for the choice of definitions, they come to perceive mathematics as a living discipline, leading to a fundamental change in their attitude toward the subject, moving away from result-oriented thinking.
In conclusion, this study suggests that ambiguity in school mathematics is not an error to be eliminated but rather a creative pedagogical device that awakens higher-order thinking and mathematical agency in gifted education. The discussion-based instruction model utilizing ambiguity proposed in this study helped form a critical eye for perceiving the mathematical essence and contributed to endowing students with a mathematical identity as “designers of knowledge”.

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 학교 수학의 ‘함수의 연속’의 정의가 학문 수학에서 교수학적 변환(Didactic Transposition)을 거치며 내포하게 된 필연적인 ‘모호성(Ambiguity)’을 과학영재학교 학생들을 위한 생산적인 교육적 소재로 재조명하고, 이를 활용한 토론 수업 모형을 개발 및 적용하여 학생들의 인식론적 변화와 지식의 재구성 과정을 분석하는 데 목적이 있다. 이때, ‘모호성’이란 Byers(2007)가 제시한 개념으로, ‘서로 양립 불가능하지만 그 자체로는 일관된 둘 이상의 참조틀(frames of reference)로 하나의 상황이나 아이디어를 인식하는 것’을 의미한다.
이를 위해 Grosholz(2007)의 생산적 모호성 이론, Alkandari (2025)의 개념 정의 모델(CDM), 사회적 구성주의와 Lakatos(1991)의 ‘추측과 반박’의 논리 등을 이론적 토대로 삼아, ‘인지 갈등의 설계’, ‘개념의 비판적 재구성’, ‘촉진자로서의 교사 역할’, ‘영재 학생의 인지적 특성 활용’이라는 4가지의 설계 원리를 도출하였다. 개발된 수업 모형은 4단계의 핵심 질문으로 구성되었으며, ‘주관적 지식 형성 → 객관화(공적인 비평과 재형성) → 객관적 지식 형성 → 개인적 재형성’의 4단계로 이루어진 서동엽(2005)의 사회적 구성주의 수업 모형을 채택하였다. 토론 수업 모형은 교수설계의 방법인 ADDIE 모형에 따라 설계되었다. 과학영재학교 학생 15명을 대상으로 100분간의 토론 수업과 자극 회상 면담(Stimulated Recall Interview)을 실시한 뒤, 수집된 데이터를 지속적 비교분석법(Constant Comparative Method)으로 분석하였다.
분석 결과, 학생들은 모호성을 인식하고 이로 인해 유발된 인지 갈등을 통해 메타 인지적 사고와 비판적 분석 능력을 보였으며, 사회적 상호작용을 통해 주관적 지식을 정교화하고 수학적 정합성을 갖춘 객관적 지식으로 정교화하는 과정에서 수학적 지식의 본질이 절대적이기보다는 유연하며 변할 수 있는 ‘약속’임을 깨닫는 모습을 보여주었다.
이러한 분석 결과를 통해 본 연구에서는 다음과 같은 결론을 도출하였다.
첫째, 본 연구에서 제시하는 모호성을 활용한 토론 수업 모형은 영재 학생의 지적 호기심과 과제 집착력을 고취하는 효과적인 교수학적 장치이다. 학생들은 정답보다 정의의 빈틈을 해결하는 과정에서 높은 몰입감을 보였으며, 모호성은 발산적 사고를 자극하는 ‘생산적 소재’가 된다. 이때 교사는 지식 전달자가 아닌 담론을 유발하는 ‘촉진자’ 역할을 수행해야 한다.
둘째, 토론을 통한 사회적 상호작용은 영재 학생들의 주관적 직관을 객관적인 수학적 지식으로 전이시키는 효과적인 사회적 비계(Social Scaffolding)로 기능할 수 있다. 학생들은 모둠 내 언어화와 전체 토론의 상호 비평을 통해 지식을 객관화하고 정의를 재구성하며, 이 과정에서 학문적 유연성을 기르고 협력적 탐구 공동체로 결속된다. 소그룹에서 전체 토론으로 이어지는 2단계의 ‘객관화’ 구조는 주관적 직관을 객관적 지식으로 전이시키는 체계적인 비계(Scaffolding)로 기능한다.
셋째, 교과서 정의의 교수학적 변환 과정을 학생들이 비판적으로 대면하게 하는 교육적 처치는 성숙한 인식론적 신념 형성에 기여할 수 있다. 지식의 불완전성과 정의의 선택 이유를 탐색하며 수학을 살아있는 학문으로 인식하게 되고, 이는 결과 중심 사고에서 벗어나 학문을 대하는 태도의 근본적인 변화를 이끌어낸다.
결론적으로 본 연구는 학교 수학 내의 모호성은 제거되어야 할 오류가 아니라 영재 교육에서 고등 사고와 수학적 주체성을 일깨우는 창의적인 교수학적 장치가 될 수 있음을 시사한다. 본 연구에서 제안한 모호성을 활용한 토론 수업 모형은 수학적 본질을 꿰뚫어 보는 비판적 안목을 형성하고, 학생들에게 ‘지식의 설계자’라는 수학자적 정체성을 부여하는 데 기여하였다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 1
• 2. 연구의 목적 및 연구 문제 4
• Ⅱ. 이론적 배경 5
• 1. 수학적 지식의 형성과 학습 5
• 1-1. 교수학적 변환론과 지식의 파손 5
• 1-2. 개념 정의와 개념 이미지 6
• 1-3. 개념 정의 모델(CDM) 7
• 2. 연속성 개념의 교수학적 쟁점 9
• 2-1. 학문 수학에서의 연속성의 정의 9
• 2-2. 학교 수학에서의 연속성의 정의와 오개념에 관한 선행 연구 11
• 3. 인지 갈등과 사회적 구성주의 13
• 3-1. 모호성(Ambiguity)의 교육적 활용 13
• 3-2. 인지 갈등을 활용한 수업 모형 14
• 3-3. 사회적 구성주의와 Lakatos의 수리철학 16
• 4. 선행 연구의 주요 토론 수업 모형 및 연구 모형의 특징 19
• 4-1. 선행 연구의 주요 토론 수업 모형 19
• 4-2. 개념 정의가 유발하는 ‘모호성’을 소재로 한 토론 수업 모형의 특징 21
• Ⅲ. 연구 방법 23
• 1. 분석(Analysis) 단계 24
• 1-1. 학습자 및 환경 분석 24
• 1-2. 수업 소재 분석 (교과서 분석) 27
• 2. 설계(Design) 단계 40
• 2-1. 수업 목표 설정 40
• 2-2. 핵심 질문 설계 40
• 2-3. 수업 절차 설계 46
• 3. 개발(Development) 단계 49
• 3-1. 학생용 활동지 개발 49
• 3-2. 교사용 지도안 개발 50
• 3-3. 심층 면담 프로토콜 개발 50
• 4. 실행(Implementation) 및 평가(Evaluation) 단계 51
• 4-1. 수업 모형 및 도구의 전문가 타당도 검증 51
• 4-2. 토론 수업과 사후 면담의 실행 53
• Ⅳ. 연구 결과 54
• 1. 모호성의 인식과 인지 갈등 54
• 1-1. 개념 정의와 개념 이미지 사이의 모호성 54
• 1-2. 교과서의 개념 정의와 학문 수학의 개념 사이의 모호성 62
• 1-3. 개념 정의들 사이의 모호성 64
• 2. 사회적 상호작용을 통한 모호성의 극복 66
• 3. 정의(Definition)에 대한 인식론적 변화 70
• 4. 모호성을 활용한 영재학생 대상 토론 수업의 교육적 가치 74
• Ⅴ. 요약 및 결론 78
• 1. 연구 결과 요약 79
• 2. 결론 및 제언 81
• 참고문헌 83
• 부록 88
• Abstract 110