예비 수학 교사를 위한 방정식 풀이 교육 모듈 개발 연구 = A study on developing an education module on the solvability of polynomial equations for preservice mathematics teachers

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

A prominent German mathematician Felix Klein pointed out the gap between preservice mathematics teacher education in college and secondary school mathematics, which he described as the double discontinuity. Preservice mathematics teachers experience one discontinuity in college, where they learn pure mathematics at a different level from secondary school mathematics. They experience the other discontinuity when they become secondary mathematics teachers, where they teach traditional secondary school mathematics based on the mathematics they learned in secondary school while forgetting about pure mathematics learned in college.
It has been consistently argued that preservice mathematics teacher education should be closely aligned with school practice to help preservice mathematics teachers overcome the double discontinuity, and several scholars, led by Nicholas H. Wasserman, have developed preservice mathematics teacher education modules to gradually bridge the gap between college mathematics and school mathematics.
Among pure mathematics courses that preservice mathematics teachers encounter in college, modern algebra has a large content and format gap with school algebra, making it difficult for preservice mathematics teachers to effectively apply their algebraic knowledge to school mathematics instruction, even though they study modern algebra in college. To help preservice mathematics teachers with this challenge, Nicholas H. Wasserman and Patrick Galarza have been working on developing a modern algebra education module for preservice mathematics teachers, but it is limited to connecting a few basic concepts of modern algebra to school mathematics.
Therefore, this study aimed to develop a preservice teacher education module on algebraic equation solving as a background for the development of modern algebra, to help preservice teachers connect equation solving content learned in secondary school with modern algebra content learned in college, and to enhance preservice teachers' motivation to learn modern algebra. To achieve the study objectives, the following two research questions were set and answered. First, how can an equation-solving education module for preservice mathematics teacher be designed? Second, what is the impact of the designed education module on preservice mathematics teachers' understanding of polynomial equation solving and motivation for learning modern algebra?
To answer the first research question, we designed an initial module based on the existing education module structure. We set up a virtual school situation where preservice teachers could directly experience the connection between modern algebra and solving polynomial equations in school mathematics, and structured the education module to provide polynomial equation-solving knowledge and modern algebra knowledge that would directly help them respond to the virtual school situation. The initial module was tested with two preservice mathematics teachers, and expert review opinions were collected from two inservice mathematics teachers and two algebra education experts. The module was revised to reflect the improvements identified based on the results of the module experiment and the expert review opinions.
To answer the second research question, we conducted an experiment with five preservice mathematics teachers using the revised module and analyzed the module's impact on the preservice mathematics teachers' understanding of polynomial equation solving and their motivation to learn modern algebra by observing their responses during the experiment. Additionally, a survey was conducted before and after the module implementation to measure the preservice mathematics teachers' motivation for learning modern algebra, and the changes in the survey results before and after the module implementation were observed.
The results of the module experiment and survey showed that the designed education module was effective in improving preservice mathematics teachers' understanding of polynomial equation solving and strengthening their motivation to learn modern algebra. In the module experiment, it was observed that preservice mathematics teachers systematically applied various equation-solving knowledge in virtual school situations after learning modern algebra knowledge related to polynomial equation solving. Feedback from preservice mathematics teachers who participated in the module experiment indicated that participants found the education module beneficial and interesting, and that their motivation to learn modern algebra had improved. Survey results that quantified the state of motivation for learning modern algebra also showed that preservice mathematics teachers' motivation for learning modern algebra had improved after experiencing the module.
The education module developed in this study helps preservice mathematics teachers understand the direct connection between modern algebra and secondary school algebra and realize the significance of studying modern algebra. It also helps inservice teachers understand the connection between secondary school algebra and modern algebra that they learned in the past, thereby supporting preservice and inservice mathematics teachers in overcoming their double discontinuity. It is hoped that the development of such an education module will expose preservice mathematics teachers to a variety of mathematical pedagogical aspects related to modern algebra, which will gradually change the perception of modern algebra as esoteric and less related to school mathematics.

국문 초록 (Abstract)

독일의 저명한 수학자 Felix Klein은 대학에서 이루어지는 예비 수학 교사 교육과 중등학교 수학 간의 간극을 지적하며, 이를 이중 단절(double discontinuity)로 표현했다. 예비 수학 교사는 대학에서 중등학교 수학과 다른 차원의 순수 수학을 배우며 한 번의 단절을 경험하고, 현직 교사가 된 후에는 대학에서 배운 순수 수학은 망각한 채 과거 중등학교에서 배운 수학을 토대로 전통적인 중등학교 수학을 가르치며 또 한 번의 단절을 경험하게 된다.
예비 수학 교사의 이중 단절 극복을 지원하기 위해서 학교 현장과 밀접한 예비 수학 교사 교육이 이루어져야 한다는 주장이 지속적으로 제기되어 왔으며, 미국의 수학교육학자 Nicholas H. Wasserman을 필두로 한 몇몇 학자들이 대학 수학과 학교 수학의 점진적 연결을 위한 예비 수학 교사 교육 모듈 개발을 실행해 왔다.
예비 수학 교사가 대학에서 접하는 여러 순수 수학 교과목 중 특히 현대 대수학은 학교 대수와 내용적·형식적 간극이 커, 예비 수학 교사가 대학에서 현대 대수학을 학습하더라도 그 지식을 학교 수학 교육에 효과적으로 적용하기가 어렵다. 이러한 예비 수학 교사의 어려움을 지원하기 위해 Nicholas H. Wasserman과 Patrick Galarza가 예비 교사를 위한 현대 대수 교육 모듈 개발 연구를 진행하고 있지만, 현재까지는 국소적으로 현대 대수의 기초 개념들을 학교 수학에 연결하는 데 그쳤다.
이에 본 연구에서는 현대 대수학의 발전 배경인 대수방정식 풀이를 주제로 예비 교사 교육 모듈을 개발하여, 예비 교사가 중등학교에서 배운 방정식 풀이 내용과 현대 대수학에서 배우는 내용을 원활히 연결하여 대수 이해의 깊이를 더하도록 지원하고, 이와 동시에 예비 교사의 현대 대수 학습 동기를 강화하는 것을 목표로 하였다. 연구 목표를 달성하기 위하여 다음과 같은 두 가지 연구 질문을 설정하고 이에 답하였다. 첫째, 예비 수학 교사를 위한 방정식 풀이 교육 모듈은 어떻게 설계될 수 있는가? 둘째, 설계한 교육 모듈이 예비 수학 교사의 방정식 풀이 이해와 현대 대수 학습 동기에 미치는 영향은 어떠한가?
첫 번째 연구 질문에 답하기 위해 기존의 교육 모듈 구조를 토대로 초기 모듈을 설계하였다. 예비 수학 교사가 학교 수학의 방정식 풀이와 현대 대수학의 연결성을 직접적으로 경험할 수 있는 가상 학교 상황을 설정하고, 가상 학교 상황 대응에 직접적으로 도움이 되는 방정식 풀이 지식과 현대 대수 지식을 제공하도록 교육 모듈을 구성하였다. 설계한 초기 모듈을 예비 수학 교사 2명을 대상으로 1차 실험하고, 현직 수학 교사 2명과 대수 교육 전문가 2명에게 전문가 검토 의견을 수집하였다. 예비 수학 교사 대상 모듈 실험 결과와 전문가 검토 의견을 바탕으로 도출한 초기 모듈의 개선점을 반영하여 모듈을 수정하였다.
두 번째 연구 질문에 답하기 위해 예비 수학 교사 5명을 대상으로 수정 모듈의 실험을 진행하였고, 수정 모듈 실험 과정에서 나타난 예비 교사의 응답을 관찰하여 모듈이 예비 교사의 방정식 풀이 이해와 현대 대수 학습 동기에 미치는 영향을 분석하였다. 또한 모듈 실행 전후로 예비 교사의 현대 대수 학습 동기 부여 상태를 측정하는 설문 조사를 실시하여, 모듈 실행 전후로 설문 조사 결과가 어떻게 변화하는지 분석하였다.
모듈 실험과 설문 조사 결과, 설계한 방정식 풀이 교육 모듈이 예비 교사의 방정식 풀이 이해 개선과 현대 대수 학습 동기 강화에 효과적인 것으로 나타났다. 모듈 실험에서는 예비 교사가 방정식 풀이 관련 현대 대수 지식을 학습한 후 가상 학교 상황에 다양한 방정식 풀이 지식을 활용하여 체계적으로 대응하는 것이 관찰되었다. 모듈 실험에 참여한 예비 교사의 피드백에서는 참여자들이 방정식 풀이 모듈을 유익하고 흥미롭게 느끼고, 현대 대수학에 대한 학습 의욕이 향상되었음이 나타났다. 현대 대수 학습 동기 부여 상태를 수치화한 설문 조사 결과에서도 모듈 체험 전후로 예비 교사의 현대 대수 학습 동기가 향상된 것으로 나타났다.
본 연구에서 개발한 교육 모듈은 예비 수학 교사에게는 현대 대수학 교과목과 중등학교 대수의 직접적인 연결성을 체감하고 현대 대수 학습의 의미를 깨닫도록 하고, 현직 교사에게는 과거에 학습한 현대 대수학과 중등학교 대수의 연결성을 이해하도록 하여 예비·현직 수학 교사들의 이중 단절 극복을 지원한다. 이러한 교육 모듈 개발을 통하여 예비 수학 교사가 현대 대수학과 관련된 수학 교육적 측면을 다양하게 경험하도록 지원한다면, 현대 대수학 교과목이 난해하고 학교 수학과의 연관성이 적다는 인식 역시 점차 개선될 것으로 기대된다.

목차 (Table of Contents)

• 제 1 장 서론 1
• 제 2 장 연구 배경 4
• 제 1 절 방정식 풀이 관련 학교 수학과 대학 수학의 간극 4
• 제 2 절 학교와 대학 간 수학적 단절 해소를 위한 대수 교육 모듈 6
• 제 3 장 연구 방법 8
• 제 1 절 설계 연구 방법론 8
• 제 2 절 연구 절차 11
• 1. 첫 번째 주기 연구 절차 12
• 2. 두 번째 주기 연구 절차 16
• 제 3 절 모듈 설계 19
• 제 4 장 모듈 1차 실험 및 전문가 검토 25
• 제 1 절 모듈 1차 실험 결과 25
• 1. 모듈 1, 2단계: 교수학적 상황 대응 활동 25
• 2. 모듈 3, 4단계: 모든-어떤 테스트 및 현대 대수 지식 학습 28
• 3. 모듈 5단계: 교수학적 상황에 현대 대수 지식 적용 활동 30
• 4. 모듈 6단계: 예비 교사 피드백 32
• 제 2 절 전문가 검토 결과 33
• 1. 현직 교사 검토 결과 33
• 2. 대수 교육 전문가 검토 결과 34
• 제 3 절 모듈 개선점 분석 및 모듈 수정 34
• 1. 모듈 개선점 도출 34
• 1.1 현대 대수 지식 내용 강화 34
• 1.2 고차방정식 풀이의 역사적 배경 추가 35
• 1.3 모듈 5단계 활동 내용 보완 35
• 1.4 모듈 1, 2단계 세부 지문 수정 35
• 1.5 모듈 설계 정당화 보완 36
• 2. 모듈 수정 내용 36
• 제 5 장 모듈 2차 실험 및 설문 조사 39
• 제 1 절 모듈 2차 실험 결과 40
• 1. 모듈 1, 2단계: 교수학적 상황 대응 활동 41
• 2. 모듈 3, 4단계: 모든-어떤 테스트 및 현대 대수 지식 학습 45
• 3. 모듈 5, 6단계: 방정식 풀이의 역사적 배경과 방정식의 가해성·비가해성 학습 45
• 4. 모듈 7단계: 교수학적 상황에 현대 대수 지식 적용 활동 46
• 5. 모듈 8단계: 예비 교사 피드백 52
• 제 2 절 설문 조사 결과 분석 58
• 제 6 장 결론 71
• 참고문헌 73
• 부록 : 모듈 학습지 76
• Abstract 88