비형식적 정당화 과제에 대한 수학 교사의 인식 : 인지적 노력 수준과 필요성 중심으로 = Mathematics Teachers’ Noticing of Informal Justification Tasks: Focusing on Cognitive Demand Levels and Perceived Necessity

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Justification refers to a cognitive activity through which the validity of a mathematical statement is explained and communicated in order to convince or persuade others. Mathematical tasks function not only as vehicles for mathematical content but also as core classroom activities that shape students’ processes of understanding and applying concepts, as well as their ways of mathematical thinking. If the goal of mathematics education extends beyond checking conceptual understanding or procedural fluency to exploring the relationships among mathematical concepts and grasping their essential properties, then justification tasks that demand creativity and inquiry become indispensable. Such tasks must also be designed to be feasible for implementation in actual classroom settings. While formal justification tasks in textbooks often remain at the level of reproducing prescribed procedures and thus provide limited opportunities for exploratory learning, informal justification tasks hold the potential to foster students’ creative thinking and problem-solving. Accordingly, the provision of informal justification tasks that stimulate creativity and inquiry is necessary, and their practical applicability in classrooms must be ensured.
With the aim of examining teachers’ perceptions of the necessity of teaching informal justification tasks, this study investigated the noticing that secondary mathematics teachers engage in when judging the cognitive demand levels of textbook tasks in the Mean Value Theorem unit. The study was designed based on prior research on justification tasks, cognitive demand levels, and theoretical discussions on noticing. Teachers evaluated the cognitive demand levels of individual justification tasks presented in textbooks according to established definitions and articulated the grounds for their judgments. Based on these articulations, teachers further elaborated their perceptions regarding the necessity of teaching informal justification tasks. Teachers’ grounds for judging cognitive demand levels and their perceptions of the necessity of informal justification tasks were analyzed using the framework of noticing judgment criteria proposed by Weyers et al. (2024).
The results show that, in judging the cognitive demand levels of justification tasks, teachers engaged in noticing that integrated knowledge of content and teaching (KCT), specialized content knowledge (SCK), and knowledge of students (KCS). For formal justification tasks, unlike the researcher-agreed noticing, participating teachers tended to judge tasks as requiring higher levels of cognitive demand (PWC·DM Levels), focusing less on procedural reproduction (KCT) and more on conceptual connections (SCK) and students’ exploratory thinking (KCS). In contrast, when considering informal justification tasks, teachers demonstrated sociocultural noticing that carefully accounted for contextual factors such as classroom realities, textbook structure and authors’ intentions, and teacher and student levels. These findings indicate that teachers interpret tasks not only in terms of their cognitive structure but also through an integrated consideration of learners’ experiences and educational contexts.
Furthermore, teachers exhibited differing perceptions regarding the necessity and feasibility of teaching informal justification tasks. Some teachers argued against the need for additional instruction, citing the high cognitive demands already imposed by formal justification tasks, whereas others emphasized the necessity of informal justification tasks due to the procedural reproduction–oriented limitations of formal justification tasks. Overall, teachers’ noticing emerged as a multilayered reasoning process that synthesizes cognitive characteristics of tasks with sociocultural considerations. These results provide practical implications for enhancing the educational value of informal justification tasks and supporting their effective implementation in classroom practice.

국문 초록 (Abstract)

정당화(Justification)란 어떤 수학적 명제가 왜 타당한지를 설명하고, 그 설명을 통해 타인을 설득하거나 이해에 이르게 하는 인지적 활동을 의미한다. 한편, 과제(Task)는 학습자가 다루는 수학적 내용 그 자체에 국한되지 않고, 수학적 개념을 이해하고 적용하는 과정은 물론 수학적으로 사고하는 방식을 형성하는데 핵심적인 역할을 하는 교실 내 활동 요소로 기능한다. 수학 교육의 목표가 개념의 단순한 이해 확인이나 절차적 숙달에 있는 것이 아니라, 수학적 개념과 그들 간의 관계를 탐구하여 본질적 성질을 이해하는데 있다면, 이러한 탐구 중심의 교육 목표 아래에서는 창의성과 탐구적 사고를 요구하는 정당화 과제의 제시가 필수적이며, 그러한 과제는 실제 수업 현장에서도 적용 가능하도록 설계되어야 한다. 교과서의 형식적 정당화 과제는 제시된 절차를 재현하도록 요구하는 수준에 머물러 탐구 학습의 기회를 제한적으로 제공하는 반면, 비형식적 정당화 과제는 학습자의 창의적 사고와 문제 해결을 촉진할 잠재력을 지니고 있다. 따라서 창의성과 탐구적 사고를 자극하는 비형식적 정당화 과제의 제시가 필요하며, 이러한 과제는 실제 수업 현장에서도 구현 가능해야 한다.
본 연구에서는 비형식적 정당화 과제 지도의 필요성에 대한 교사의 인식이라는 목적 하에, 교과서의 평균값 정리 단원 과제를 대상으로 수학교사가 인지적 노력 수준을 판단하는 과정에서 수행하는 노티싱을 살펴보았다. 이를 위해 정당화 과제에 대한 선행연구, 인지적 노력 수준에 관한 선행연구, 그리고 노티싱(noticing)에 관한 이론적 논의를 기반으로 연구를 설계하였다. 수학교사는 인지적 노력 수준의 정의에 근거하여 교과서의 형식적·비형식적 정당화 과제에 대한 인지적 노력 수준을 판단하고, 그 판단 근거를 진술하였다. 이후 교사들은 이러한 진술을 토대로 비형식적 정당화 과제의 지도 필요성에 대한 인식을 구체적으로 서술하였다. 교사들의 인지적 노력 수준 판단 근거 및 비형식적 정당화 과제의 지도 필요성 인식은 Weyers et al. (2024)이 제시한 노티싱 판단 근거 이론에 따라 분석되었다.
교사들은 정당화 과제의 인지적 노력 수준을 판단하는 과정에서 교수내용지식(KCT), 전문적 내용지식(SCK), 학생에 대한 지식(KCS)을 복합적으로 활용하는 노티싱을 수행하였다. 형식적 정당화 과제의 경우, 연구자 합의 노티싱과 달리, 연구 참여 교사들은 절차 재현 중심(KCT)보다는 개념적 연결(SCK)과 학습자의 탐구적 사고(KCS)에 주목하여 과제의 인지적 노력 수준을 높은 수준(PWC·DM수준)으로 판단하는 경향을 보였다. 반면, 비형식적 정당화 과제에서는 실제 수업 상황, 교과서 구조, 집필 의도, 교사·학생 수준 등 환경적 요인을 세밀하게 고려하는 사회문화적 관점의 노티싱이 수행되었다. 이러한 결과는 교사들이 과제의 인지적 구조를 넘어서 학습자 경험과 교육 맥락을 통합적으로 해석하고 있음을 보여준다.
또한, 교사들은 비형식적 정당화 과제의 지도 필요성과 적용 가능성에 대해 상이한 인식을 보였다. 일부는 형식적 정당화 과제의 인지적 부담을 근거로 비형식적 정당화 과제의 추가 지도의 부정적 인식을, 다른 일부는 형식적 정당화 과제의 절차 재현 중심의 한계를 근거로 비형식적 정당화 과제의 추가 지도의 필요성을 보였다. 교사들의 노티싱은 과제의 인지적 특성과 사회문화적 요인을 종합적으로 고려하는 다층적 사고 과정으로 드러났으며, 이러한 결과는 비형식적 정당화 과제의 교육적 의의와 현장 적용을 가능하게 하기 위한 실천적 방안을 제시한다.

목차 (Table of Contents)

• 목 차
• 국문초록 ⅰ
• 목차 ⅲ
• 표목차 ⅵ
• 그림목차 ix
• 제1장 서론 1
• 제1절 연구 배경 1
• 제2절 연구 목적 6
• 제3절 연구 문제 6
• 제4절 용어의 정리 7
• 4.1 과제 7
• 4.2 정당화 8
• 4.3 인지적 노력 수준 8
• 제2장 문헌 분석 9
• 제1절 미적분 단원과 롤의정리 9
• 제2절 Noticing 13
• 2.1. Noticing 13
• 2.2. Noticing 분석틀 16
• 제3절 인지적 노력수준 19
• 3.1 인지적 노력수준 19
• 3.2. 선행연구의 연구자 합의 노티싱과 인지적 노력 수준 23
• 제4절 정당화 31
• 4.1 정당화 31
• 4.2. 정당화 관련 선행연구 분석 32
• 4.3 정당화 유형 용어 정의 37
• 제3장 연구 방법 40
• 제1절 사례 연구 40
• 제2절 연구 설계 40
• 2.1. 연구 참여자 40
• 2.2. 연구 절차 41
• 제3절 자료 수집 및 분석 44
• 3.1. 자료 수집 44
• 3.2. 본 연구의 연구자 합의에 따른 노티싱과 인지적 노력 수준 44
• 제4장 연구 결과 54
• 제1절 형식적 정당화 과제에 대한 교사의 노티싱 및 인지적 노력
• 수준 판단 결과 54
• 제2절 비형식적 정당화 과제에 대한 교사의 노티싱 및 인지적 노력 수준 판단 결과 80
• 제3절 비형식적 정당화 과제 지도 필요성에 대한 교사의 인식 101
• 3.1. 부정적 인식 101
• 3.2. 긍정적 인식 105
• 제5장 결론 및 제언 113
• References 120
• Abstract 128
• 표 목 차
• <표 2-1> Noticing 판단 근거 분류틀 (Weyers et al., 2024) 18
• <표 2-2> 인지적 노력 수준에 따른 과제 분석틀(Stein et al., 2009) 22
• <표 2-3> 선행연구에서 제시한 과제 예시와 인지적 노력 수준 (Stein & Smith, 1998)) 26
• <표 2-4> 선행연구에서 제시한 과제 예시와 인지적 노력 수준 (Stein & Smith, 1998) 29
• <표 2-5> 김수철의 정당화 유형 36
• <표 2-6> 정당화 용어 정의 38
• <표 3-1> 연구 절차 43
• <표 3-2> 평균값 정리 단원 과제의 연구자 합의 노티싱 결과 52
• <표 4-1> 과제 1에서 KCT 중심 노티싱을 수행한 사례 54
• <표 4-2> 과제 1의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P01의 노티싱 사례 56
• <표 4-3> 과제 4에서 KCT 중심 노티싱을 수행한 사례 57
• <표 4-4> 과제 8에서 KCT 중심 노티싱을 수행한 사례 58
• <표 4-5> 과제 4의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P02의 노티싱 사례 62
• <표 4-6> 과제 8의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P03의 노티싱 사례 64
• <표 4-7> 과제 2에서 SCK 중심 노티싱을 수행한 사례 65
• <표 4-8> 과제 7에서 SCK 중심 노티싱을 수행한 사례 65
• <표 4-9> 과제 2의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P01의 노티싱 사례 67
• <표 4-10> 과제 3의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P04의 노티싱 사례 69
• <표 4-11> 과제 11에서 KCT 중심 노티싱을 수행한 사례 70
• <표 4-12> 과제 11에서 KCT 중심 노티싱을 수행하지 않은 사례 72
• <표 4-13> 과제 12의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P01의 노티싱 사례 73
• <표 4-14> 과제 13에서 SCK 중심 노티싱을 수행한 사례 74
• <표 4-15> 과제 13에서 SCK 중심 노티싱을 수행하지 않은 사례 75
• <표 4-16> 과제 6에서 KCS 중심 노티싱을 수행한 사례 76
• <표 4-17> 과제 10에서 SCK 중심 노티싱을 수행한 사례 78
• <표 4-18> 과제 15에서 CCK 중심 노티싱을 수행한 사례 80
• <표 4-19> 과제 15에서 CCK 중심 노티싱을 수행하지 않은 사례 82
• <표 4-20> 과제 17에서 CCK 중심 노티싱을 수행한 사례 83
• <표 4-21> 과제 22의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P01의 노티싱 사례 85
• <표 4-22> 과제 20에서 SCK 중심 노티싱을 수행한 사례 86
• <표 4-23> 과제 27에서 SCK 중심 노티싱을 수행한 사례 87
• <표 4-24> 과제 23에서 SCK 중심 노티싱을 수행한 사례 87
• <표 4-25> 과제 21에서 SCK 중심 노티싱을 수행하지 않은 사례 88
• <표 4-26> 과제 23에서 SCK 중심 노티싱을 수행하지 않은 사례 88
• <표 4-27> 과제 27에서 SCK 중심 노티싱을 수행하지 않은 사례 89
• <표 4-28> 과제 19의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P04의 노티싱 사례 91
• <표 4-29> 과제 19의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P03의 노티싱 사례 93
• <표 4-30> 과제 18의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P05의 노티싱 사례 95
• <표 4-31> 과제 28에서 SCK 중심 노티싱을 수행한 사례 96
• <표 4-32> 과제 28에서 SCK 중심 노티싱을 수행하지 않은 사례 98
• <표 4-33> 과제 28의 인지적 노력 수준 판단에 반영된 교사 P02의 노티싱 사례 100
• <표 4-34> 비형식적 정당화 과제 지도 필요성에 대한 부정적 인식 사례
• 101
• <표 4-35> 비형식적 정당화 과제 지도 필요성에 대한 부정적 인식의 노티싱 사례 103
• <표 4-36> 비형식적 정당화 과제 지도 필요성에 대한 긍정적 인식 사례
• 105
• <표 4-37> 비형식적 정당화 과제 지도 필요성에 대한 긍정적 인식의 노티싱 사례 108
• 그 림 목 차
• [그림 2-1] 천재류 수학교과서 ‘롤의 정리의 증명 과제’ 11
• [그림 2-2] 천재류 수학교과서 ‘극값과 미분계수의 관계 설명’ 11
• [그림 2-3] level of awareness 16
• [그림 2-4] Noticing 판단 근거 분석틀 (Weyers et al., 2024) 17
• [그림 2-5] 교사의 지식 분류와 SMK·PCK 하위 유형 18
• [그림 2-6] 선행연구에서 제시한 과제 예시(김훈 외, 2011, p. 105) 24
• [그림 2-7] 선행연구에서 제시한 PNC수준 과제 예시(김훈 외, 2011, p. 106) 24
• [그림 2-8] 선행연구에서 제시한 PNC 수준 교과서 정당화 과제 예시(정상권 외, 2010) 25
• [그림 2-9] 선행연구에서 제시한 PWC수준 과제 예시(김훈 외, 2011) 27
• [그림 2-10] 선행연구에서 제시한 DM수준 교과서 과제 예시 28
• [그림 2-11] 선행연구에서 제시한 DM수준 교과서 과제 예시(홍창준·김구연, 2012) 28
• [그림 2-12] 선행연구에서 제시한 M수준 교과서 과제 예시(최용준 외, 2012) 30
• [그림 3-1] PNC수준의 KCT 중심 노티싱 교과서 과제 예시(류희찬 외, 2017) 46
• [그림 3-2] PWC수준의 SCK 중심 노티싱 교과서 과제 예시(황선욱 외, 2017) 47
• [그림 3-3] PWC수준의 SCK 중심 노티싱 교과서 과제 예시(고성은 외, 2015) 48
• [그림 3-4] PWC수준의 SCK 중심 노티싱 교과서 과제 예시(김원경 외, 2015) 49
• [그림 3-5] DM수준의 KCS 중심 노티싱 교과서 과제 예시(류희찬 외, 2017) 50
• [그림 3-6] M수준의 CCK 중심 노티싱 교과서 과제 예시(권오남 외, 2017) 51
• [그림 4-1] 과제 1 연구결과 54
• [그림 4-2] 과제 1에서 교사 P01이 수행한 KCT 및 SCK 중심 노티싱 사례 55
• [그림 4-3] 과제 4 연구결과 57
• [그림 4-4] 과제 4에서 교사 P02가 수행한 KCT 및 SCK 중심 노티싱 사례 59
• [그림 4-5] 과제 8에서 교사 P03이 수행한 KCT 및 SCK 중심 노티싱 사례 63
• [그림 4-6] 과제 2 연구결과 65
• [그림 4-7] 과제 2에서 교사 P01이 수행한 KCT 및 SCK 중심 노티싱 사례 67
• [그림 4-8] 과제 3에서 교사 P04가 수행한 KCT 및 SCK 중심 노티싱 사례 68
• [그림 4-9] 과제 11 연구결과 70
• [그림 4-10] 과제 12에서 교사 P01이 수행한 KCT 및 SCK 중심 노티싱 사례 73
• [그림 4-11] 과제 13 연구결과 74
• [그림 4-12] 과제 6 연구결과 76
• [그림 4-13] 과제 15 연구결과 80
• [그림 4-14] 과제 17 연구결과 83
• [그림 4-15] 과제 22에서 교사 P01이 수행한 CCK 및 SCK 중심 노티싱 사례 84
• [그림 4-16] 과제 20 연구결과 86
• [그림 4-17] 과제 19에서 교사 P04가 수행한 KCT 및 SCK 중심 노티싱 사례 90
• [그림 4-18] 과제 1에서 교사 P03이 수행한 KCT 및 SCK 중심 노티싱 사례 92
• [그림 4-19] 과제 18에서 교사 P05가 수행한 CCK 및 SCK 중심 노티싱 사례 94
• [그림 4-20] 과제 28 연구결과 96