무한소수로 정의되는 실수에 대한 예비교사들의 HCK 분석 : 대학 수학 지식과의 관계를 중심으로 = An Analysis of Pre-service Teachers' HCK of Real Number Defined as Infinite Decimals

국문 초록 (Abstract)

대학 수학 학습이 어떻게 학교 수학을 가르치기 위해 필요한 교사 전문성으로 연결되는지 파악하는 것은 수학 교사 교육에서 중요한 과제이다(Wasserman et al., 2023). 본 연구에서는 수학 교사 지식 중 하나인 수학적 식견으로서의 지식(Horizon Conetent Knowledge, 이하 HCK)의 개념 및 HCK와 대학 수학 사이의 관계에 대해 논의한 기존 선행 연구들을 살펴보았다. 이를 바탕으로 무한소수로 정의되는 실수에 대한 HCK가 무엇인지 규정하였다. 첫 번째는 중학교 3학년 교과서의 실수 정의 방식에 관한 내용이 대학 수학에서 배운 실수의 완비성과 어떻게 연계되는지 파악하는 것을 HCK로 규정하였다. 두 번째는 무한소수로 실수를 정의하여 수 체계를 확장하는 과정에서 교과서 내용이 갖는 구조적 한계점과 학습자에게 오개념을 유발할 요소가 무엇인지 파악하는 것을 HCK로 규정하였다. 세 번째는 순환하지 않는 무한소수의 수렴성에 대한 근거를 실수의 완비성을 활용해 정당화하는 것을 HCK로 규정하였다. 실수의 완비성에 대한 지식을 묻는 문항과 무한소수로 정의되는 실수에 대한 HCK를 인터뷰 과제의 형태로 6명의 예비교사에게 제시하였으며 이들의 응답 특징을 분석하고 HCK의 특징을 개별 대학 수학 지식 수준에 비추어 확인하였다. 무한소수로 정의되는 실수에 대한 예비교사들의 HCK 특징은 두 가지로 도출하였으며 대학 수학 지식과 HCK 사이 관계의 특징을 세 가지로 정리하여 예비교사교육에서 실수 학습과 관련한 논의 및 시사점을 기술하였다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Identifying how the acquisition of advanced mathematical knowledge at the university level translates into expertise for teaching mathematics is a vital task in teacher education(Wasserman et al., 2023). This study examines prior research on the concept of Horizon Content Knowledge (HCK)—a form of mathematical "peripheral vision" or a view of the larger mathematical landscape required for teaching—and discusses the relationship between HCK and university-level mathematics.
Based on this review, HCK for real numbers defined as infinite decimals was established in three ways. First, HCK involves identifying how middle school (9th-grade) textbook definitions of real numbers connect to the completeness of real numbers learned in university mathematics. Second, it involves recognizing the structural limitations of textbook content and identifying elements that potentially cause student misconceptions during the process of expanding the number system through infinite decimals. Third, it involves justifying the convergence of non-repeating infinite decimals by utilizing the completeness of real numbers.
To investigate this, interview tasks focusing on knowledge of the completeness of real numbers and HCK were presented to six pre-service teachers. Their response characteristics were analyzed, and their HCK was examined in light of their individual levels of university mathematics knowledge.
Two primary characteristics of pre-service teachers’ HCK regarding real numbers defined as infinite decimals were identified. Furthermore, the relationship between university-level mathematical knowledge and HCK was characterized by three distinct aspects, leading to a discussion of the implications for learning real numbers in pre-service teacher education.

목차 (Table of Contents)

• 제 1 장 서론 1
• 제 2 장 이론적 배경 5
• 제 1 절 대학 수학과 HCK 5
• 제 2 절 무한소수로 정의되는 실수에 대한 HCK 8
• 제 3 절 실수의 완비성에 대한 지식 10
• 제 3 장 연구 방법 14
• 제 1 절 연구 참여자 및 연구 맥락 14
• 제 2 절 인터뷰 과제 선정 16
• 제 3 절 자료수집 및 분석 20
• 제 4 장 연구 결과 21
• 제 1 절 실수의 완비성에 대한 지식 21
• 1. 실수의 완비성 정의 및 동치 명체 21
• 2. 실수로 수 체계 확장의 필요성 및 완비의 역할 23
• 제 2 절 교과서 해석 과정에서 드러난 HCK 26
• 1. 실수의 완비성과 교과서 연계 26
• 1.1 유한소수로 루트2를 근사하는 과정 27
• 1.2 수직선의 성질 29
• 2. 교과서 실수 정의 방식의 한계 31
• 2.1 루트2가 무리수임을 설명하는 과정에서 귀류법을 통한 증명 생락 31
• 2.2 루트2가 무한소수로 표현 가능한 이유에 대한 설명 부재 33
• 2.3 무리수 및 실수 정의 방식에 포함된 순환 논리 34
• 2.4 실수로 수 체계 확장 필요성에 대한 설명 부족 35
• 2.5 근호 안의 수에 편중된 무리수 예시 36
• 제 3 절 순환하지 않는 무한소수의 수렴성 정당화 과정에서 드러난 HCK 37
• 1. 무한소수 수렴에 대한 근거를 실수의 완비성과 연결하지 못함 37
• 2. 실수의 완비성을 근거로 무한소수의 수렴 설명 39
• 3. 무한소수 수렴에 대한 그거를 설명할 지식 부재 41
• 제 5 장 논의 및 결론 43
• 제 1 절 논의 43
• 제 2 절 결론 및 후속연구 제안 49
• 참고문헌 51
• 부록 55
• Abstract 56