Steady states and stability for the Vlasov–Poisson and Euler–Poisson system via the concentration-compactness argument = Vlasov–Poisson 및 Euler–Poisson 방정식의 정상상태와 안정성에 대한 집중-컴팩트성 논증 기반 분석

국문 초록 (Abstract)

본 논문은 Vlasov–Poisson 및 Euler–Poisson 계의 정상상태와 궤도 안정성에 관한 서베이 논문이다. 특별히, 방사 대칭성 가정에 의존한 G. Rein의 기존 접근을 넘어, P. L. Lions의 집중-컴팩트성 방법을 변분틀에서 구현하여 정상상태의 존재를 대칭 가정 없이 재증명한다. 이 과정에서 최소화 함수열의 소멸과 이분 시나리오를 배제하고, 질량 보존 하의 집중 시나리오를 확립함으로써 최소화자의 존재성 보인다. 이어서 이러한 변분적 특성화에 기초하여, 대응하는 정상상태가 궤도 안정성을 갖는다는 사실을 논의한다.
더 나아가, 뉴턴 중력 퍼텐셜을 리츠 퍼텐셜로 일반화한 Vlasov–Riesz 및 Euler–Riesz 모델에서, 리츠 퍼텐셜의 파라미터 알파가 변함에 따라 계의 비선형성과 퍼텐셜 사이의 균형이 달라지므로, 정상상태가 존재하는 조건 역시 달라진다. 본 연구는 이 리츠 퍼텐셜 파라미터 알파에 따라 변화하는 임계 지수를 계산하고, 아임계 경우에 대하여 최소화자가 존재함을 증명하고자 한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This dissertation is a survey of the Vlasov–Poisson and Euler–Poisson systems, addressing steady states and orbital stability. In particular, moving beyond the previous approach of G. Rein that relies on radial symmetry, we implement P. L. Lions’ concentration–compactness method in a variational framework to re-establish the existence of steady states without any symmetry assumption.
Along the way we exclude vanishing and dichotomy for minimizing sequences, and —by enforcing mass conservation—obtain the concentration scenario, thereby proving the existence of minimizers. Building on this variational characterization, we then discuss the orbital stability of the resulting steady states.
We further consider the Vlasov–Riesz and Euler–Riesz models, obtained by replacing the Newtonian potential with the Riesz potential. As the Riesz parameter α varies, the balance between the system’s nonlinearity and the potential term changes, and hence the conditions for the existence of steady states also change. We compute the critical exponent as a function of α and, in the subcritical regime, prove the existence of minimizers.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• Chapter 1 Introduction and Preliminaries 1
• 1.1 Introduction 1
• 1.2 Notation and preliminaries 6
• Chapter 2 Ground state for the Nonlinear Schr¨odinger Equation 11
• 2.1 Introduction to the NLSE 12
• 2.2 Strauss’s method 17
• 2.3 Lions’s method 32
• 2.4 Orbital stability 41
• Chapter 3 Steady states and stability for the Vlasov–Poisson and Euler–Poisson system 44
• 3.1 The variational framework for establishing minimizer 45
• 3.2 Steady state and orbital stability 77
• 3.3 Polytropic case 84
• 3.4 Reizs potential case 91
• Abstract(in Korean) 102