On Robust M-Estimations on Riemannian Manifolds = 리만 다양체에서의 강건한 M-추정량 연구

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Many contemporary datasets arise on nonlinear manifolds with unignorable outliers or heavy-tailed underlying distributions, where geometric structure must be explicitly respected while considering the robust estimation. In this work, we investigate Riemannian robust M-estimators, combining the robustness of M-estimators with the intrinsic geometry of Riemannian manifolds. This synthesis addresses both the statistical robustness and the geometric necessity of manifold-aware analysis. Our framework is evaluated across manifolds—including Euclidean, sphere and hyperbolic spaces through extensive simulations. In particular, we study the calibration of cutoff parameters for downweighting outliers and propose ranges that achieve approximately 95% of relative efficiency under Gaussian-like distributions, analogous to Euclidean benchmarks. For heavy-tailed distributions, M-estimators are shown to have greater efficiency than the usual Fr´echet mean. We demonstrate the practical utility of our framework through real-world applications such as earthquake epicenter on the Earth, wind direction fields and more. Notably, robust M-estimators yield more reliable estimates than the Fr´echet mean. From a computational perspective, we contribute implementations for computation of manifold-valued M-estimators within the open-source library Geomstats, enabling automatic Riemannian gradient descent and customized loss functions. Our results establish robust M-estimation as a principled, computationally tractable, and empirically effective tool for manifold-valued data analysis.

국문 초록 (Abstract)

이상치(outlier)나 heavy-tailed 잡음으로 데이터가 오염되는 경우, 강건한 통계적 추정은 필수적이다. 또한 최근의 많은 실제 데이터는 비선형 다양체(manifold) 위에서 발생하며, 이 경우 기하학적 구조를 명시적으로 반영하는 분석이 요구된다. 본 연구에서는 고전적 M-추정량의 영향함수(score function) 기반 강건성과 리만 다양체의 내재적 기하를 결합한 리만 강건 M-추정량(Riemannian robust M-estimators) 을 체계적으로 분석한다. 이를 통해 통계적 관점의 강건한 추정과 다양체 자료 분석에서의 기하학적 특성을 동시에 충족하는 방법론을 제시한다. 계산적 측면에서는 오픈소스 라이브러리인 Geomstats을 통해 다양체 상 M-추정량을 효율적으로 계산할 수 있게 구현하였고, 자동 리만 그래디언트(automatic Riemannian gradients) 및 사용자 정의 강건 손실함수(customized robust loss functions)를 지원하도록 확장한다. 제안한 프레임워크는 구면(sphere), 쌍곡공간(hyperbolic space) 등 여러 다양체에서 대규모 시뮬레이션을 통해 평가된다. 특히 이상치 영향을 줄이기 위한 cutoff 파라미터의 보정(calibration)을 다루며, 유클리드 공간의 기준과 유사하게 가우시안 유사 분포 하에서 상대 효율 95% 를 달성하는 cutoff 범위를 제안한다. 또한 heavy-tailed 분포에서는 M-추정량이 통상적인 프레셰 평균(Fréchet mean)보다 더 높은 효율을 가짐을 보인다. 마지막으로 지구상 지진 중심 위치 추정(earthquake epicenter) 및 바람 방향장(wind direction fields) 등 실제 자료 응용을 통해, 강건 M-추정량이 프레셰 평균보다 더 안정적이고 신뢰할 수 있는 추정을 제공함을 입증한다. 본 연구 결과는 강건 M-추정이 다양체 값 데이터 분석에서 원리적으로 정당하며 계산적으로 구현 가능하고 경험적으로도 효과적인 도구임을 확립한다.

목차 (Table of Contents)

• Chapter1 Introduction 1
• 1.1 Introduction 1
• 1.1.1 Related Work 3
• Chapter2 Motivation 9
• 2.1 Theoretical Background 9
• Chapter3 Simulation 19
• 3.1 Simulations 19
• 3.1.1 Simulation Design and Conditions 19
• 3.1.2 Data Generation Method 20
• 3.1.3 Analysis of Mean Squared Error (MSE) 22
• 3.1.4 Analysis of Relative Efficiency (RE) 26
• 3.1.5 Cutoff Suggestion Strategy 36
• 3.1.6 Practical Cutoff Selection in Real-World Scenarios 40
• Chapter 4 Application 47
• 4.1 Real-World Applications 47
• 4.1.1 Directional Statistics: Monthly/Seasonal Wind Field Analysis in Seoul 47
• 4.1.2 Geophysics: Earthquake Epicenter Analysis on the Earth’s surface 48
• 4.1.3 Paleomagnetism: Virtual Geomagnetic Pole (VGP) Estimation 50
• 4.1.4 Engineering: Analysis of Corrupted Impedance Data 54
• 4.2 Open-Source Code Contribution 55
• Chapter 5 Conclusion 58
• 국문초록 68