Lefschetz fibrations over the 2-sphere coming from periodic monodromies = 주기성의 모노드로미에서 온 2차원 구 위로의 Lefschetz 섬유화 구조

국문 초록 (Abstract)

Lefschetz 섬유화는 유한개의 특이 섬유를 제외하고 곡면 위의 곡면 다발 구조를 가지는 매끄러운 4차원 다양체로, 그 특이성은 오직 노드 형태만을 가진다. 특이 섬유의 구조에 따라, 각 특이 섬유의 모노드로미는 섬유 내의 소멸 사이클(vanishing cycle)이라 불리는 곡선을 따라 일어나는 우수(right-handed) Dehn twist로 주어진다. 특이 섬유들로부터 모든 모노드로미 데이터를 수집하면 우수 Dehn twist들의 곱으로 표현되는 모노드로미 분해를 얻게 되며, 이는 해당 Lefschetz 섬유화에 대한 완전한 정보를 제공한다.

본 학위 논문에서 저자는 주기적 모노드로미(즉, 모노드로미 위상동형사상이 주기적 사상과 동위원인 경우)를 갖는 하나의 특이 섬유를 포함하는 섬유화를 구성한다. Matsumoto의 아이디어에 착안하여, 특정 주기적 모노드로미들에 대해 해당 특이 섬유를 여러 개의 Lefschetz 섬유들과 그에 대응하는 소멸 사이클들로 분해하는 방법을 제시한다. 저자는 이러한 특이 섬유 분해를 구성하는 전반적인 과정과, 섬유의 2중 분기 피복 구조를 이용하여 소멸 사이클을 읽어내는 절차를 개관한다. 또한, 일련의 주기적 작용들과 관련된 Lefschetz 섬유들로의 특이 섬유 분해 및 그 소멸 사이클들을 제시한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

A Lefschetz fibration is a smooth 4-manifold object admitting surface bundle structure over surface except finite singular fibers, whose singularity is only nodal type.
From the structure of singular fiber, each monodromy of a singular fiber is given by a right handed Dehn twist along a curve, called a vanishing cycle, in the fiber.
Collecting all monodromy data from singular fibers, we have a monodromy factorization into right handed Dehn twists, which is the complete information of the Lefschetz fibration.

In my thesis paper, I construct a fibration with one singular fiber which has a periodic monodromy (that is, monodromy homeomorphism is isotopic to a periodic map).
From the idea of Matsumoto, I give a splitting of the singular fiber into Lefschetz fibers and their vanishing cycles for some collection of periodic monodromies.
I overview the story of constructing the splitting singular fibers and the procedure of reading vanishing cycles using two branched cover structure of fibers.
I also give the splitting singular fibers into Lefschetz fibrers related to a family of periodic actions, and their vanishing cycles.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• Chapter 1. Introduction 1
• 1.1 Statement of Main Results 3
• 1.2 Conventions and Notations 6
• Chapter 2. Background Researches 8
• 2.1 Lefschetz fibrations and monodromy factorizations 8
• 2.1.1 Definitions and monodromy factorizations 8
• 2.1.2 Topological invariants from monodromy factorizations 11
• 2.2 Periodic actions on Riemann surfaces 13
• 2.3 Cyclic quotient singularities and Hirzebruch-Jung resolutions 16
• Chapter 3. Fibration admitting one singular fiber with periodic monodromy 20
• 3.1 Construction of singular fibration over S2 with the monodromy periodic map 20
• 3.2 Degeneration family of Riemann surfaces 31
• Chapter 4. Splitting singular fibers into Lefschetz fibers of genus 4 34
• 4.1 Finding vanishing cycles for \phi_1:X_1 -> D^2 34
• 4.1.1 Construction of local charts for singular fibers and the perturbation (\phi_1)_\epsilon of \phi_1 34
• 4.1.2 Two projections of a fiber of (\phi_1)_\epsilon 39
• 4.1.3 Finding vanishing cycles 42
• 4.1.4 Global conjugation 48
• 4.2 Finding vanishing cycles for \phi_2:X_2 -> D^2 50
• 4.2.1 Construction of local charts for singular fibers and the perturbation (\phi_2)_\epsilon of \phi_2 51
• 4.2.2 Two projections of a fiber of (\phi_2)_\epsilon 54
• 4.2.3 Finding vanishing cycles 57
• Chapter 5. Splitting singular fibers into Lefschetz fibers of genus 3n+1 64
• 5.1 Splitting for \sigma_2n+1^-1 64
• 5.1.1 Construction of local charts 65
• 5.1.2 Critical points and singular values 69
• 5.1.3 Vanishing cycles, n=3k case 74
• 5.1.4 Vanishing cycles, n=/3k case 87
• 5.2 Splitting for \sigma_2n+1 90
• 5.2.1 Construction of local charts 90
• 5.2.2 Critical points and singular values 92
• 5.2.3 Vanishing cycles, n=3k case 95
• 5.2.4 Vanishing cycles, n=/3k case 104
• 5.3 Combinatorial approach 106
• 5.3.1 Finding exact factorization for \sigma_2n+1^-1 and \sigma_2n+1 106
• 5.3.2 Proof of Theorem 1.1.5 110
• Chapter 6. Further Researches 113
• Abstract (in Korean) 117