Development of Physics-Informed Convolutional Neural Networks for Solving the Neutron Diffusion Equation and Their Applications = 중성자 확산 방정식 해석을 위한 합성곱 물리 정보 신경망 개발 및 응용

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In the field of nuclear reactor physics, the demand for high-fidelity core analysis has intensified, necessitating numerical methods that can resolve complex 3D power distributions with pin-wise precision. While traditional deterministic solvers—such as Finite Difference Method (FDM) and Nodal Methods—have successfully served as the industry standard, they are fundamentally governed by iterative numerical schemes. This iterative nature imposes a cumulative computational burden, particularly in multi-query applications like core design optimization, where the solver requires re-convergence from scratch for each configuration.
To overcome this computational bottleneck, data-driven deep learning initially emerged as a compelling surrogate modeling technique. These approaches offer rapid, non-iterative inference speeds suitable for real-time applications. However, purely data-driven models face fundamental limitations in the nuclear domain: they rely heavily on massive labeled datasets—which are computationally expensive to generate using high-fidelity codes—and lack rigorous physical guarantees, raising safety concerns regarding their "black-box" predictions.
Addressing these limitations, Physics-Informed Neural Networks (PINNs) have emerged as a promising alternative. By embedding the governing equation directly into the loss function, PINNs ensure physical consistency without relying on labeled data. Yet, a critical misalignment remains between standard PINN architectures and reactor physics. Most existing PINNs rely on Fully Connected Networks (FNNs), which treat spatial domains as flattened vectors. This approach discards the inherent lattice topology of reactor cores, leading to severe scalability challenges in high-dimensional 3D problems. Consequently, there is a need for a specialized architecture that aligns the geometric inductive bias of deep learning with the structural regularity of nuclear reactors.
To realize this vision, this dissertation proposes a Physics-Informed Convolutional Neural Network (PICNN) framework for the analysis of reactor physics problems. Unlike standard Fully Connected Networks, this architecture treats the reactor core as a 3D tensor, leveraging the geometric alignment between the reactor's lattice structure and the grid-based topology of Convolutional Neural Networks (CNNs).
Within this convolutional framework, the primary objective was to accurately solve the neutron diffusion equation while maintaining the spatial integrity of the reactor data. To achieve this, a standard U-Net architecture was adopted as the backbone, utilizing its hierarchical feature extraction capabilities to capture the multi-scale physics of neutron transport. In the developmental phase, an architectural decision was required regarding the estimation of the effective multiplication factor (keff), a system parameter that depends on the flux distribution itself.
Two distinct strategies were rigorously investigated using a 2D Pressurized Water Reactor (PWR) benchmark problem: a 'Direct Prediction' model, which treats the eigenvalue as a learnable parameter inferred implicitly via an auxiliary fully connected layer, and an 'Explicit Calculation' model, which mathematically derives the eigenvalue from the network’s predicted flux utilizing the physical definition of the Rayleigh Quotient. Comparative analysis demonstrated the clear superiority of the Explicit Calculation strategy; while the Direct model exhibited instability, the Explicit model achieved a mean flux error of approximately 0.3% and a keff difference within 10 pcm, ensuring strict adherence to the neutron balance principle. Consequently, this explicit formulation was established as the core methodology, trained in a self-supervised manner by minimizing the residuals of the discretized diffusion equation without requiring labeled data.
With the architectural methodology finalized, the scalability and fidelity of the proposed framework were systematically validated across multi-dimensional regimes. Building upon the fundamental feasibility established in 2D PWR benchmark, the framework was seamlessly extended to a 3D Small Modular Reactor (SMR) core. Despite the increased dimensionality, the PICNN maintained high fidelity, achieving a flux Root Mean Square (RMS) error of 1.56% and a keff error of 17.5 pcm. Most significantly, the solver demonstrated a transformative advantage in computational efficiency. By replacing the iterative procedures of traditional fine-mesh solvers with a non-iterative neural inference, the proposed model reduced the computation time for a full 3D core state to approximately 0.20 seconds. This sub-second latency validates the framework's potential as a real-time surrogate engine for extensive design optimization and on-the-fly safety analysis.
Beyond forward prediction, the versatility of the framework was demonstrated by extending it to the inverse problem of power reconstruction. Recognizing that real-world operations involve input uncertainties and limited instrumentation, the architecture was adapted to assimilate sparse signals from in-core detectors. The resulting unified model successfully functioned as a virtual sensor, reconstructing the full 3D power distribution from sparse measurements with a flux RMS error of less than 1.3%. This performance was facilitated by the synergistic integration of measurement and physics: the assimilation of sparse observations provides critical constraints to mitigate local predictive biases, while the strict enforcement of the diffusion equation serves as a rigorous regularizer that effectively suppresses the propagation of stochastic sensor noise.
In conclusion, by demonstrating that deep learning can achieve both computational efficiency and physical consistency, this dissertation establishes a seminal methodological framework, paving the way for the next generation of scientific machine learning research in nuclear reactor analysis.

국문 초록 (Abstract)

최근 원자로 물리 분야에서 노심 해석의 고정밀화에 대한 요구가 증대됨에 따라, 연료봉 단위의 복잡한 3차원 출력 분포를 정밀하게 해석할 수 있는 수치해석 방법론의 중요성이 강조되고 있다. 유한차분법이나 노달법과 같은 전통적인 결정론적 해석 코드들은 산업 표준으로서 성공적으로 활용되어 왔으나, 근본적으로 반복적인 수치 해석 기법에 기반한다는 한계를 지닌다.
이러한 반복 계산 특성은 노심 설계 최적화나 실시간 감시와 같이 매개변수 변화에 따라 매번 수렴 과정을 처음부터 다시 수행해야 하는 문제에서 막대한 계산 부하를 야기한다. 이러한 계산상의 병목 현상을 극복하기 위해 데이터 기반의 딥러닝 기법이 대안적인 기술로 부상하였다. 이들은 실시간 활용이 가능한 고속의 비반복적 추론 속도를 제공한다는 이점이 있지만, 고정밀 해석 코드를 통한 막대한 양의 라벨 데이터 생성이 요구될 뿐만 아니라, 물리적 법칙에 대한 엄밀한 보장이 결여된 ‘블랙박스’적 특성을 지니고 있다는 점에서 엄밀한 검증이 필요한 원자로 설계 계산에 사용되기에는 다소 무리가 있다.
이에 대한 해결책으로 지배 방정식을 손실 함수에 직접 포함하여 데이터 없이도 물리적 정합성을 보장하는 물리 정보 신경망이 최근 주목을 받고 있다. 그러나 기존의 표준 물리 정보 신경망 구조는 대부분 완전 연결 신경망에 의존하고 있어 원자로 물리 문제와의 구조적 불일치가 존재한다. 완전 연결 신경망은 공간 도메인을 1차원 벡터로 평탄화하여 처리하기 때문에 원자로 노심 고유의 격자 위상 정보를 소실시키며, 이는 고차원 3차원 문제에서 심각한 확장성 문제를 초래한다. 따라서 딥러닝의 기하학적 귀납 편향을 원자로의 구조적 규칙성과 일치시킬 수 있는 특화된 아키텍처가 요구된다.
이러한 간극을 메우기 위해, 본 학위 논문은 원자로 물리 해석을 위한 물리 기반 합성곱 신경망 프레임워크를 제안한다. 제안된 아키텍처는 원자로 노심을 3차원 텐서로 취급하여, 원자로의 격자 구조와 합성곱 신경망의 그리드 기반 위상 간의 기하학적 정합성을 활용함으로써 완전 연결 신경망 기반 물리 정보 신경망의 한계를 극복하였다.
본 프레임워크는 중성자 확산 방정식을 풀이함과 동시에 데이터의 공간적 무결성을 유지하는 것을 주된 목적으로 한다. 이를 위해 U-Net 구조를 기본 구조로 채택하여 중성자 수송 현상의 다중 스케일 특징을 효과적으로 추출하였다. 특히, 모델 개발 단계에서 중성자속 분포에 종속적인 시스템 매개변수인 유효 증배 계수의 추정 방식에 대해, 이를 학습 가능한 파라미터로 간주하는 '직접 예측' 모델과 레일리 몫의 물리적 정의를 이용해 중성자속으로부터 유도하는 '명시적 계산' 모델을 비교 분석하였다. 연구 결과, 명시적 계산 방식이 중성자 평형 원리를 엄밀히 준수함으로써 수렴 안정성과 물리적 일관성 면에서 우수함을 확인하였으며, 이를 핵심 방법론으로 채택하여 외부 라벨 데이터 없이 자가 지도 학습 방식으로 학습을 수행하였다.
확립된 방법론의 확장성과 정확성은 다차원 벤치마크 문제를 통해 체계적으로 검증되었다. 2차원 벤치마크에서 입증된 타당성을 바탕으로, 본 프레임워크는 3차원 소형모듈원자로 노심으로 확장되었다. 차원 증가에도 불구하고 해당 모델은 1.56%의 중성자속 오차와 17.5 pcm의 유효증배계수 오차를 기록하며 높은 정확도를 유지하였다. 무엇보다 가장 중요한 성과는 계산 효율성의 혁신이다. 기존 미세 격자 해석 코드의 반복적 절차를 비반복적 신경망 추론으로 대체함으로써, 3차원 전노심 해석 시간을 약 0.20초로 단축하였다. 이러한 1초 미만의 초고속 연산 능력은 본 프레임워크가 광범위한 설계 최적화 및 실시간 안전 해석을 위한 엔진으로 활용될 수 있음을 입증한다.
나아가 본 연구는 순방향 예측을 넘어 출력 재구성을 위한 역문제로 프레임워크를 확장하였다. 실제 운전 환경의 입력 불확실성과 제한된 계측 기기상황을 고려하여, 희소한 노내 계측기 신호를 동화할 수 있도록 아키텍처를 개선하였다. 그 결과, 통합된 모델은 희소 계측 신호로부터 3차원 전노심 출력 분포를 1.3% 미만의 오차로 복원해 내는 가상 센서로서의 기능을 성공적으로 수행하였다. 이러한 성능은 측정 데이터가 국소적인 예측 편향을 완화하고, 확산 방정식의 엄밀한 적용이 확률론적 센서 노이즈의 전파를 억제하는 정규화 장치로 작용하는 시너지 효과에 기인한다.
결론적으로, 본 학위 논문은 딥러닝이 계산 효율성과 물리적 일관성을 동시에 달성할 수 있음을 입증함으로써, 희소한 측정 데이터와 복잡한 원자로 물리 간의 간극을 잇는 중대한 방법론적 기틀을 마련하였다. 이는 향후 원자력 산업의 디지털 트윈 및 자율 운전 시스템 구현을 위한 실질적인 기반 기술이 될 것으로 기대된다.

목차 (Table of Contents)

• Chapter 1. Introduction 1
• 1.1. Background and Motivation 1
• 1.2. Purpose and scope 6
• Chapter 2. Theoretical Background 10
• 2.1. The Neutron Diffusion Equation 10
• 2.2. Reactor Core Power Reconstruction 11
• 2.3. Deep Learning Foundations 16
• 2.3.1. Physics-Informed Neural Networks 16
• 2.3.2. Convolutional Neural Networks 20
• Chapter 3. A Unified Physics-Informed Convolutional Neural Network Framework 24
• 3.1. Overview of the Unified Framework 24
• 3.2. Discretized Neutron Diffusion Equations and Residual Formulation 25
• 3.2.1. 2D Formulation 26
• 3.2.2. 3D Formulation 29
• 3.3. Physics-Informed Convolutional Neural Network (PICNN) 30
• 3.3.1 Network Architecture and Input Representations 31
• 3.3.2. Physics Based Loss and Normalization Strategy 34
• 3.3.3 Eigenvalue Prediction Strategies 36
• 3.4. Data Generation and Implementation Details 40
• 3.4.1. Benchmark Problems 40
• 3.4.2. Data Generation and Preprocessing 44
• 3.4.3. Implementation and Training Protocol 46
• Chapter 4. Parametric Neutron Diffusion Equation Solver 48
• 4.1. Validation as a 2D Parametric NDE Solver 49
• 4.1.1. Evaluation Metrics and Convergence Criteria 50
• 4.1.2. Convergence Analysis: Impact of Learning Rate 50
• 4.1.3. Accuracy Analysis and Hyperparameter Selection 52
• 4.1.4. Statistical Validation and Best Model Selection 55
• 4.1.5. Data Sensitivity Analysis 58
• 4.2. Validation as a 3D Parametric NDE Solver 61
• 4.2.1. 3D Accuracy Analysis 62
• 4.2.2 Assembly Power Distribution and Peaking Factor Analysis 64
• 4.2.3 Computational Efficiency Assessment 68
• Chapter 5. Power Reconstruction Model 70
• 5.1. Input Structure and Sensor Configuration 70
• 5.2. Physics-Data Fusion Loss Function 72
• 5.3. Reconstruction Performance Analysis 74
• 5.4. Sensitivity to Detector Configuration 80
• Chapter 6. Conclusion 84
• 6.1. Summary of Contributions 85
• 6.2. Future Works 87
• 6.3. Concluding Remarks 88
• Bibliography 89