Continuity of magnitude and maximum diversity with an application to time series analysis = 규모 및 최대다양도의 연속성과 시계열분석에의 응용

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Magnitude of metric spaces has been shown to relate closely to more familiar notions such as volume, dimension, total curvature, and so forth. On the other hand, theoretical open questions are raised by counterintuitive phenomena such as the non-continuity of magnitude. One interesting point is that such unexpected cases occur even under mild hypotheses, e.g., for finite metric spaces or Euclidean subsets. At the same time, the peculiar character of magnitude as an "effective count of elements" has motivated research on its utility on mathematical data analysis. Thus, the magnitude of finite metric spaces deserves attention in both theoretical and applied directions.
This dissertation focuses on the continuity of magnitude, weighting, their variations, and their application to certain signal processing tasks. We first establish theoretical results, including an adaptation of weighting and maximum diversity to construct numerical invariants for time series. The first part also raises and answers a theoretical problem motivated by applications, namely how the cardinality of metric spaces affects the convergence of magnitude, i.e., whether $\textrm{Mag\ } X_n \rightarrow \textrm{Mag\ }X$ when $X_n \rightarrow X$. Next, we utilize the theory developed in the first part to define invariants of periodic time series that are stable under perturbations occurring in practical situations. As a proof-of-concept, we examine the invariants on real-world periodic time series data and especially show that they improve the performance of identification tasks.

국문 초록 (Abstract)

거리공간의 규모는 부피, 차원, 전곡률 등 보다 널리 알려진 개념들과 관련되어 있다고 알려져 있다. 한편, 규모의 불연속성같은 반직관적인 현상들로 인해 이론적인 미해결 질문들이 제시되었다. 흥미로운 점은 그러한 현상들이 유한 거리공간이나 유클리드공간과 같은 비교적 온건한 조건들에서 생겨났다는 것이다. 또한 "효력상의 원소 갯수"라고 묘사되는 규모의 독특한 성질은 수학적인 데이터분석에의 연구로 이어지는 결과도 낳았다. 이렇게 유한거리공간의 규모는 이론 및 응용 양면에서 주목할 가치가 있다.
이 논문에서는 규모, 무게와 그 변형 불변량들과 그 연속성 및 신호처리 문제에서 활용가능성을 다룬다. 먼저 이론적인 결과들을 다루는데 여기에는 무게와 최대다양도를 바탕으로 시계열의 불변량을 구성하는 것이 포함된다. 또한 응용 문제로부터 착안한 이론적인 문제로서 거리공간의 원소 수가 규모의 수렴 여부, 즉 $X_n \rightarrow X\ \Rightarrow\ \textrm{Mag\ } X_n \rightarrow \textrm{Mag\ }X$ 과 어떻게 관련되어 있는지 답한다. 다음으로는 앞에서 구성한 시계열의 불변량이 실제 데이터 수집 상황에서 발생할 만한 변동에 대해 안정적임을 보인다. 나아가 이 불변량들을 실제 주기 시계열 데이터에 적용하고 식별 과정의 정확도 향상에 기여함을 실험으로 보일 것이다.

목차 (Table of Contents)

• 1 Introduction 1
• 1.1 Motivating question 1
• 1.2 A brief introduction to metric space magnitude 2
• 1.3 Organization of the remaining chapters 3
• 2 Euler characteristic of enriched categories 5
• 2.1 Euler characteristic of posets 5
• 2.2 Generalization to categories 13
• 3 Magnitude and weighting of metric spaces 19
• 3.1 Magnitude revisited 19
• 3.2 Reproducing kernel Hilbert spaces 25
• 3.3 Weighting space of metric spaces 26
• 3.4 Illustrative examples and properties 27
• 4 Continuity of magnitude and weighting 33
• 4.1 General properties 34
• 4.1.1 Weighting case 34
• 4.1.2 Diversifier case 35
• 4.2 Magnitude of finite positive definite metric spaces 39
• 4.2.1 Proof of the “if” part 43
• 4.2.2 Proof of the “only if” part 49
• 5 Application to data analysis 59
• 5.1 Magnitude of Euclidean subsets 61
• 5.2 Weighting integral 64
• 5.3 Experiment 1: qualitative analysis 64
• 5.3.1 Examples with synthetic data 64
• 5.3.2 Examples with ECG data 65
• 5.4 Experiment 2: identification task 67
• 5.4.1 Result 68
• 5.4.2 Selection of hyperparameters 70