Class Field Theory of a p-adic Number Field via Group Cohomology = 군 코호몰로지를 이용한 p-진 수체의 유체론

국문 초록 (Abstract)

본 논문은 노이키르히(Neukirch)의 국소적 유체론(local class field theory)을 p-진 수체의 갈루아 군의 경우로 제한하여 해설적으로 재구성한 것이다.
Neukirch는 임의의 사유한 군(profinite group)에 대해 일반적인 형태로 이론을 전개하지만, 본 논문에서는 특히 Gal(K^s/K)에 집중하여 이 구체적인 경우에서 모든 결과를 유도한다.
노이키르히 (Neukirch)의 클래스형식(class formation)에 기초한 코호몰로지적 틀을 따라, 우리는 국소적 상호법칙(local reciprocity law)과 존재정리(Existence Theorem)를 확립하고, 이를 통해 K의 유한 아벨 확장들과 K^x의 유한 지수 부분군들 사이의 표준적 대응관계를 얻는다.
비록 노이키르히 (Neukirch)의 원래 전개에서는 국소 크로네커--베버(Kronecker--Weber) 정리가 직접적으로 다루어지지 않지만, 본 논문에서는 놈군(norm group)의 구조에 관한 몇 가지 보조정리를 추가함으로써, 그것이 존재정리의 직접적인 귀결로서 도출됨을 보인다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This thesis presents an expository reconstruction of Neukirch's local class field theory,
restricted to the case of Galois groups of p-adic number fields K.
While Neukirch develops the theory in full generality for arbitrary profinite groups,
we focus exclusively on Gal(K^s/K) and derive all results in this concrete setting.
Following Neukirch’s cohomological framework of class formations,
we establish the local reciprocity law and the Existence Theorem,
which together provide a canonical correspondence between finite abelian extensions of K
and subgroups of finite index in K^x.
Although the local Kronecker--Weber theorem does not appear in Neukirch’s original exposition,
we show that, by adding several lemmas on the structure of norm groups,
it follows directly as a corollary of the Existence Theorem.

목차 (Table of Contents)

• 1 Introduction 1
• 1.1 Notation 3
• 2 Preliminaries 5
• 2.1 Profinite Group 5
• 2.2 Galois Group as a Profinite Group 6
• 2.3 Local Field 6
• 2.4 The Unit groups of p-adic Number Field 7
• 3 Cohomology of Groups 8
• 3.1 Definition and Dimension shifting 8
• 3.2 Inflation, Restriction, and Corestriction 13
• 3.3 Cup Product 16
• 3.4 Herbrand Quotient 18
• 3.5 Tate-Nakayama Theorem 20
• 4 Class Field Theory 23
• 4.1 Class Formation 24
• 4.2 The Invariant Maps 26
• 4.3 Local Reciprocity Law 28
• 4.4 Existence Theorem 29
• 4.5 The Local Kronecker-Weber Theorem 32