Boundary H\"older regularity for the fractional Laplacian with = 라이펜버그 평탄 영역에서

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This thesis is devoted to the study of optimal boundary regularity results for weak solutions to fractional Laplacian type equations with $L^q$ data on Reifenberg flat domains. In particular, assuming that
$q \in \left(\frac{n}{2s}, \frac{n}{s}\right)$
and that the flatness parameter of the domain is sufficiently small, we establish H\"older regularity up to the boundary.
More precisely, for $0<s<1$, weak solutions are $\alpha$-H\"older continuous up to the boundary where
$\alpha = 2s - \frac{n}{q}$.

국문 초록 (Abstract)

본 학위논문에서는 라이펜버그 평탄 영역에서 정의된 $L^q$ 데이터를 갖는 분수 라플라시안 형태의 방정식에 대한 약한 해의 최적의 경계 횔더 정칙성을 연구한다. 특히, $q \in \left(\frac{n}{2s}, \frac{n}{s}\right)$ 이고 영역의 평탄도 매개변수가 충분히 작다는 가정 하에서, 약한 해가 경계를 포함한 영역에서 횔더 연속임을 증명한다.
구체적으로, $0<s<1$에 대해 약한 해는 $\alpha$-횔더 연속이며, 이때 횔더 지수 $\alpha$는 $2s-\frac{n}{q}$로 주어진다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• Contents ii
• Chapter1. Introduction 1
• 1.1 Assumptions and main results 4
• Chapter2. Preliminaries 6
• 2.1 Notations 6
• 2.2 The fractional Sobolev space $W^{s,2}$ 7
• 2.3 Elementary inequalities and embeddings 7
• 2.4 Scaling properties 8
• Chapter3. Boundary H\"older regularity on Reifenberg flat 10
• 3.1 Lemmas 10
• 3.2 Proof of the main properties 15
• References 19
• Abstract (in Korean) 21