AXIOM: Algebraic eXtension by Index--Ordered Multiplication = AXIOM: 인덱스 정렬 곱셈에 의한 대수적 확장

국문 초록 (Abstract)

본 논문은 복소수, 사원수, 팔원수 및 일반 Cayley–Dickson 대수와 텐서 대수 전반을 하나의 통합된 실수 행렬 표현으로 다루기 위한 공리적 틀 AXIOM (Algebraic eXtension by Index–Ordered Multiplication)을 제시한다. 기존의 복소수 실수화(realification)는 차원 의존적이며 대수 구조를 보존하지 못하고 메모리 사용량을 증가시키는 한계를 가진다. 이에 반해 AXIOM은 인덱스 정렬 곱셈과 Arithmetic Local Hurwitz 조건을 통해 모든 2𝑛 차원 Cayley–Dickson 대수와 텐서 대수를 테이블 없는 방식으로 통합한다. 더 나아가, Conjugation–Real Embedding(CRE)을 도입하여 모든 연산자를 스펙트럼, ∗-구조, 가역성, 노름을 보존하는 대칭 블록 실수 행렬로 표현함으로써, 복소·고차 대수 연산을 단일 실수 SPD 커널로 환원한다. 이 이론적 통합은 수치선형대수 알고리즘에서 3–4배의 실측 성능 향상을 제공하며, 차원 독립적인 연산자 계산의 기초를 확립한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This thesis introduces AXIOM (Algebraic eXtension by Index–Ordered Multiplication), an axiomatic framework that unifies complex, quaternionic, octonionic, general Cayley–Dickson, and tensor algebras within a single real matrix representation. Classical realification is dimension-dependent, asymmetric, and incurs unavoidable memory overhead while failing to preserve algebraic structure beyond 𝐶. AXIOM replaces multiplication tables with index-sorted products and enforces an Arithmetic Local Hurwitz condition, enabling table-free, dimension-independent algebraic composition. Building on this structure, the Conjugation–Real Embedding (CRE) maps all operators to symmetric block real matrices that preserve multiplication, adjoints, spectra, invertibility, and norms without increasing memory footprint. This representation collapses Hermitian positive-definite operators to real SPD matrices, allowing factorization and inversion to be performed via a single real Cholesky pipeline. Numerical experiments demonstrate consistent 3–4× runtime improvements while maintaining machine-precision accuracy, establishing AXIOM–CRE as a unified analytic and computational foundation for high-dimensional algebraic operators.

목차 (Table of Contents)

• (Abstract) i
• Contents v
• List of Figures viii
• List of Tables ix
• List of Algorithms x
• Introduction 1
• AXIOM–CRE Theoretical Foundations and Structural Theorems 5
• Structural and Topological Theorems 17
• Structural Ingredients of CRE 22
• The AXIOM–CRE Inversion Theorem 30
• Analytical and Cost Model Framework 37
• Hermitian CRE Solvers: Algorithms and Experiments 44
• CRE Solvers for General Systems 54
• Numerical Stability, Error Bounds, and Reproducibility 65
• Conclusion 72
• Appendix 77
• Bibliography 105
• Abstract in Korean i
• Acknowledgments v