알누셋(ALNUSET)을 활용하는 동적 변수 교수-학습 자료 개발 : : 중학교 1학년 '방정식과 그 해' 학습 내용을 중심으로 = Developing AlNuSet-Based Instructional Materials for a Dynamic Conception of Variable: Focusing on First-Year Middle School Students’ Learning of “Equations and Their Solutions”

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 2022 개정 수학과 교육과정의 ‘변화와 관계’ 영역에서 요구 하는 함수적 관점의 초기 대수 학습을 구현하기 위하여 동적 대수 소프트웨어 알누셋을 활용한 교수‧학습 자료를 개발하고 이를 적용하여 중학교 1학년 학생들 의 공변 추론(covariational reasoning) 양상을 분석하는 데 있다. 이를 위해 Leung(2016)의 테크노-교수학적 과제 설계 원리를 바탕으로 5차시 분량의 동적 변수 기반 과제를 설계하고 ○○시 소재 A중학교 1학년 1개 학급 26명을 대상 으로 수업을 실시하였다. 수업 과정은 영상, 모둠 대화 전사, 활동지, 사전·사후 검사 자료를 수집하여 Thompson & Carlson(2017)의 공변 추론 수준 틀에 따 라 분석하였다. 이 과정에서 드래깅이 학생들의 추론에 어떤 방식으로 작용하였 는지도 함께 살펴보았다. 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들의 공변 추론은 과제의 성격과 학생 개개인의 특성에 따라 다양 한 양상으로 나타났으며, 드래깅 방식의 변화는 공변 추론 발달과 함께 나타나는 경향으로 확인되었다. 초기에는 화면 변화를 탐색적으로 관찰하는 임의적 드래깅 에서 출발하였고 이후 값의 증가 단위를 조절해 두 식의 변화를 비교하는 안내 된 드래깅, 초기 추측의 성립 여부를 검증하는 드래깅 테스트로 이행하였다. 나 아가 연속적 조작을 통해 불변성을 발견하고 이를 전체 범위에서 성립하는 관계 로 이해하는 수준으로 확장되었다. 독립변수의 이동에 따라 종속식이 즉각적으로 반응하는 구조를 인식하는 과정은 공변 추론 수준이 3수준에서 4수준, 더 나아 가 6수준으로 전이되는 중요한 발판으로 작용하였다. 둘째, 공변 추론 기반 탐구는 방정식, 항등식, 등호 개념 형성의 핵심 토대로 기능하였다. 알누셋의 집합창과 포스트잇 기능을 활용하여 식의 성립 여부를 시 각적으로 확인하는 경험은 등호를 계산 절차가 아닌 두 식의 관계가 동일함을 나타내는 구조적 기호로 재구성을 촉진하였으며 연속적 드래깅 경험은 학생들이 모든 값에서 성립하는 관계를 이해하는 데 중요한 단서가 되었다. 셋째, 알누셋의 피드백은 학생들의 추론을 상위 수준으로 이끄는 촉매로 작용 하였다. 드래깅 과정에서 학생들은 초기 직관이나 오개념이 유지되지 않음을 스 스로 확인하고 변화가 발생하는 지점과 불변이 지속되는 지점을 점검하며 자신 의 판단을 조정하였다. 이러한 과정은 드래깅 테스트의 검증 기능과 일치하며 동 적 환경이 공변 추론을 연속적 구조로 확장하게 하는 인지적 기반을 제공한다는 기존 연구의 논의와도 부합한다. 본 연구는 공변 추론을 중심으로 대수와 함수의 연결을 경험적으로 탐색할 수 있는 교수-학습 방안을 초기 대수 단계에서 적용하였다는 점에서 의의를 갖는 다. 기존 연구가 그래프 중심의 고학년 함수 학습에 편중되었던 것과 달리 본 연 구는 변수를 ‘움직일 수 있는 대상’으로 설정하여 대수와 함수의 구조적 연결을 교실 맥락에서 구현하였다. 다만 연구 대상이 단일 학급 26명에 한정되었고, 연 구 기간이 5차시에 불과하여 장기적 개념 발달을 추적하는 데 한계가 있었으며 알누셋의 유료 프로그램 특성으로 인한 접근성 제약 또한 현장 확산의 장애 요 소로 확인되었다. 본 연구 결과, 변수를 드래그하여 식의 변화를 실시간으로 관찰하는 경험이 학생들의 공변 추론 발달에 기여하는 것으로 나타났으며, 이는 대수 학습에서 알 누셋과 같은 동적 대수 환경을 활용한 드래깅 기반 탐구 활동의 필요성을 시사 한다. 한편 드래깅 방식의 변화와 공변 추론 발달 사이의 구체적 관계를 규명하 기 위해서는 추가적인 연구가 요구된다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study aims to design and implement instructional materials that support early algebra learning from a functional perspective, as emphasized in the 2022 revised Korean mathematics curriculum’s “Change and Relationship” strand. Using the dynamic algebra software AlNuSet, we developed a set of five lessons grounded in Leung’s (2016) techno-pedagogical task design principles and implemented them with 26 seventh-grade students at School A in ○○ City. Classroom videos, group discourse transcripts, student worksheets, and pre- and post-assessments were analyzed using Thompson and Carlson’s (2017) framework for covariational reasoning, with particular attention to how dragging actions mediated students’ reasoning processes. The findings are as follows. First, students’ covariational reasoning manifested in diverse ways depending on the nature of the tasks and individual learner characteristics, and changes in students’ dragging strategies were observed to occur in tandem with the development of their covariational reasoning. Their activity progressed from exploratory dragging of screen elements to guided dragging for adjusting change increments and comparing expressions, and further to dragging-as-testing for verifying conjectures. Continuous manipulation enabled students to detect invariance and generalize it across domains, supporting transitions from Level 3 to Level 4 and eventually Level 6 covariational reasoning as they recognized the functional structure in which the dependent expression responds immediately to changes in the independent variable.
Second, covariation-based inquiry served as a foundation for developing conceptual understanding of equations, identities, and the meaning of the equal sign. Experiences using AlNuSet’s set window and post-it feedback to visually verify the truth of expressions supported a shift from viewing the equal sign as an operator symbol to understanding it as a structural indicator of relational equivalence. Continuous dragging also provided critical cues for understanding relationships that hold for all values. Third, AlNuSet’s feedback function acted as a catalyst for advancing students’ reasoning. Through dragging, students identified when initial intuitions or misconceptions failed, examined points of change and invariance, and refined their judgments—aligning with prior findings that dynamic environments afford cognitive resources that expand covariational reasoning into continuous structures.
This study demonstrates the value of applying covariation-focused instructional approaches in early algebra, providing empirical evidence of how algebra–function connections can be realized in classroom practice by treating variables as manipulable quantities. Unlike prior research that primarily focused on graph-based function learning in upper grades, this study operationalizes the structural linkage between algebra and functions in a dynamic environment. However, the study is limited by its small sample size (one class, 26 students), short intervention period (five lessons), and the restricted accessibility of AlNuSet due to licensing constraints, which may hinder broader classroom implementation.
The findings of this study indicate that engaging in variable dragging and observing real-time changes in expressions contributes to the development of students’ covariational reasoning, suggesting the value of incorporating dragging-based exploration in dynamic algebra environments such as AlNuSet. Further research is needed to clarify the specific ways in which shifts in dragging strategies are related to the development of covariational reasoning.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구 문제 3
• Ⅱ. 이론적 배경 4
• 1. 공변 추론 4
• 2. 알누셋을 활용한 대수 지도 10
• Ⅲ. 연구 방법 13
• 1. 연구 대상 13
• 2. 연구 절차 14
• 3. 자료 수집 17
• 4. 자료 분석 18
• Ⅳ. 연구 결과 21
• 1. 알누셋을 활용하는 동적 변수 교수-학습자료 개발 21
• 2. 알누셋을 활용하는 수학 수업에서 학생들의 공변 추론 특징 분석 24
• Ⅴ. 결론 46
• 참고문헌 49
• Abstract(영문초록) 55
• 부록 58