삼차방정식의 근의 공식 탐구 수업에서의 담론 분석 = Discourse Analysis of Classroom Exploration on the Formula for Roots of a Cubic Equation

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to design tasks to explore the cubic formula (i.e., the formula for the roots of a cubic equation) and to analyze the discourse of students as well as the mathematical disturbances and the commognitive conflicts while exploring these tasks. It is known that the solution of the cubic equation remained unknown for a long time, but the formula for its roots was eventually derived through the efforts of mathematicians like Cardano and Tartaglia. The historical and mathematical values become clearer because the process of finding the formula is closely related to the development of the theory of equations as well as the emergence of complex numbers.
While exploring the cubic formula, students can engage with various mathematical ideas such as determining extraneous roots and handling the multi-valued property of the nth roots of complex numbers. Although there are limitations in addressing these topics in ordinary high schools because of the complexity of the topics involved in the formula, these topics are familiar to students in science high schools. Therefore this study considers the exploration of the cubic formula, through appropriately designed tasks, as a meaningful learning resource for stimulating science high school students’ mathematical reasoning. Accordingly, this study formulates the following research questions.

A. In what forms can tasks be designed to support the proof of the cubic formula and the related exploratory processes?
B. What are the characteristics of mathematical discourse during task performance, and how do students’ mathematical disturbances and commognitive conflicts contribute to it?

To solve research question A, the tasks for proving and exploring the cubic formula were designed with reference to Koichu & Zazkis(2021), which examined the disturbance in the process of exploring the Cardano method for the cubic equation. The design of the tasks was based on Freudenthal’s principle of guided re-invention and Leron’s theory of structuring proofs. In addition, some of the tasks in Koichu & Zazkis(2021) were slightly modified and directly utilized.
To solve research question B, the tasks were assigned to third-year students at J Science High School, and the classroom discourse during the exploration was analyzed. Here, discourse is understood from Sfard’s perspective, which views mathematical learning as the development of discourse. The framework for discourse analysis based on the level of justification in Kang & Shin(2022) was elaborated and adapted to the context of algebra, and then adopted for analyzing the classroom discourse. In addition, the disturbances and commognitive conflicts in students’ activities were identified with reference to previous studies.
After analyzing seventeen episodes of classroom discourse, the results of this study can be summarized as follows. Students experienced diverse disturbances as well as some of the commognitive conflicts in exploration. The complexity of the cubic formula and its proving process was reflected in the way that students, while using proper words and narratives in familiar routines, also showed some inappropriate use of words or revealed several misconceptions in new contexts. In this process, students showed the various levels of justification experiencing conflict between different discourses.
However, students not only utilized these difficulties as an opportunity for learning but also became active learners by developing their understanding of complex mathematical concepts. For example, during the process of exploring paradox '4=-2+sqrt(3)' with the solution of x^3-15x-4=0, students experienced a disturbance when they could not provide clear justification. But through continued discussion, they understood the method for identifying extraneous roots and the multi-valued property of the nth roots of complex numbers.
The results of this study imply that exploring the cubic formula can be used as an effective learning tool for high-achieving students, such as those in science high school. In addition, the levels of justification and the characteristics of mathematical discourse analyzed in this study can be used to understand students’ algebraic proof processes. Furthermore, by identifying how disturbances and commognitive conflicts emerge and are resolved, this study suggests the possibility of utilizing the difficulties that students experienced as a foundation for learning through appropriate pedagogical design.

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 삼차방정식의 근의 공식을 증명・탐구하는 과제를 개발하고, 이 과정에서 나타나는 학생의 수학적 담론과 수학적 혼란 및 의사소통적 갈등을 분석하는 것을 목적으로 하였다. 삼차방정식의 해법은 오랜 기간 난제로 남아 있었던 만큼 다소 복잡하고 난해하지만, 카르다노, 타르탈리아 등 여러 수학자의 고뇌와 다양한 시도로부터 발견되었을 뿐 아니라 복소수의 등장 및 방정식 이론의 발달에 밀접하게 연결된다는 점에서 분명한 역사적 가치와 수학적 가치를 지닌다.
특히 삼차방정식을 증명하는 과정에서는 고등학교에서 배운 다양한 수학적 아이디어를 탐색하는 과정이 포함되어 있으며 무연근의 판정, 복소수의 거듭제곱근과 같은 연계된 수학적 탐구가 가능하다. 이러한 탐구 과정에서 등장하는 여러 내용의 복잡성을 고려할 때, 삼차방정식의 근의 공식을 일반 고등학교에서 다루기에는 한계가 있겠으나 과학고등학교 학생들에게는 이와 같은 기술적 접근이 비교적 익숙하다. 따라서 본 연구는 적절한 과제 구성을 통하여 삼차방정식의 근의 공식 탐구가 수학적 추론과 정당화 과정을 촉진할 수 있는 학습 소재가 될 수 있다고 판단하였다. 이에 본 연구에서는 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

가. 삼차방정식의 근의 공식을 증명하고 관련된 탐구 과정을 지원하는 과제는 어떠한 형태로 구체화할 수 있는가?
나. 과제의 수행 과정에서 나타나는 수학적 담론의 특징은 무엇이며, 이때 수학적 혼란과 의사소통적 갈등은 어떤 역할을 하는가?

연구 문제 가를 해결하기 위하여 근의 공식 탐구 과정에서 나타나는 다양한 혼란에 주목한 Koichu와 Zazkis(2021)의 선행 연구를 참고하여 카르다노 방법으로 삼차방정식의 근의 공식을 증명하고, 이를 탐구하는 과제를 각각 개발하였다. ‘증명 과제’ 설계는 Freudenthal의 안내된 재발명의 원리와 Leron의 증명의 구조화 이론에 기반하였으며 ‘탐구 과제’ 중 일부에서는 Koichu와 Zazkis(2021)의 연구에 제시된 과제를 맥락에 맞게 수정하여 활용하였다.
한편 연구 문제 나를 해결하기 위하여 개발된 과제를 J과학고등학교 3학년 학생들에게 투입하였고, 수업 과정에서의 학생 발화와 활동지를 참고하여 과제 수행에서 나타난 학생 담론을 분석하였다. 이때 담론이란 수학 학습을 담론의 발달로 바라보는 Sfard의 관점에 따른 것이며, 강수영, 신보미(2022)의 연구에서 활용된 정당화 수준에 따른 담론 분석틀을 대수적 맥락으로 정교화하여 적용하였다. 또한 선행 연구를 참고하여 학생 활동 과정에서 나타나는 수학적 혼란과 의사소통적 갈등을 파악하고자 하였다.
총 17개의 장면에서 나타나는 학생들의 수학적 담론을 분석한 결과는 다음과 같다. 학생들은 증명과 탐구 과정에서 다양한 수학적 혼란을 경험하였으며, 의사소통적 갈등 또한 경험하였다. 삼차방정식의 근의 공식 증명 과정이 갖는 복잡성을 단편적으로 보여주듯, 익숙한 루틴 상에서 적절한 용어와 내러티브를 사용하는 학생들도 새로운 맥락에서는 부적합한 용어를 사용하거나 다양한 형태의 오개념을 드러내었다. 또한 학생들은 다양한 정당화 수준을 나타내었으며, 서로 다른 담론이 충돌하는 과정을 경험하였다.
그러나 학생들은 마주한 어려움을 학습의 기회로 활용하였을 뿐 아니라 복잡한 수학 개념을 이해하며 능동적인 학습자로 성장해 나갔다. 예를 들어 방정식 x^3-15x-4=0의 해를 통해 역설 '4=-2+sqrt(3)'를 탐구하는 과정에서 학생들은 판단의 근거를 제시하지 못하는 혼란을 경험하기도 하였으나, 지속되는 논의의 과정에서 무연근 판정법을 이해하고 복소수 거듭제곱근의 다가성을 파악해 나갔다.
위와 같은 연구 결과는 과학고등학교 학생들과 같은 수학 우수 학습자를 대상으로 삼차방정식의 근의 공식이 효과적인 학습 소재로 활용될 수 있다는 점을 시사한다. 나아가 이 과정에서 분석한 다양한 정당화의 수준과 수학적 담론의 특징은 학생들의 대수적 증명 과정을 이해하는 자료로 활용될 수 있을 것이다. 또한 근의 공식을 탐구하는 과정에서 등장하는 수학적 혼란과 의사소통적 갈등을 파악함으로써, 본 연구는 적절한 교수학적 설계를 통해 학습자가 경험하는 어려움을 학습의 밑거름으로 활용할 수 있다는 가능성을 제공한다.

목차 (Table of Contents)

• I. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구 문제 3
• II. 이론적 배경 4
• 1. 카르다노 방법을 활용한 삼차방정식의 근의 공식 4
• 가. 삼차방정식의 해법에 관한 역사적 배경 4
• 나. 카르다노 방법을 통한 삼차방정식의 근의 공식 유도 5
• 2. 증명과 발견의 지도에 관한 연구 7
• 가. Freudenthal의 안내된 재발명 7
• 나. Leron의 증명의 구조화 8
• 다. 대수 증명의 지도 9
• 3. 수학적 담론과 의사소통 10
• 가. 사고와 의사소통 11
• 나. 수학적 담론의 요소 12
• 다. 의사소통적 갈등과 담론의 발달 13
• 라. 의사소통과 담론의 관점에서 진행된 선행 연구 15
• 4. 수학 학습에서의 혼란 16
• 가. 수학적 혼란과 이를 활용하는 수학 학습 16
• 나. 삼차방정식의 근의 공식 탐구 과정에서 나타나는 혼란과 반응 17
• III. 연구 방법 25
• 1. 연구 대상 25
• 2. 연구 절차 26
• 3. 자료수집 및 자료분석 28
• IV. 연구 결과 34
• 1. 과제 개발의 결과 34
• 가. 과제 개발의 개관 34
• 나. 증명 과제의 개발 35
• 다. 탐구 과제의 개발 38
• 2. 증명 과제 수행 과정에서의 담론 분석 39
• 가. 근의 공식 탐구가 갖는 가치: 도전적 과제로서의 활용 40
• 나. 학습의 원동력으로서 수학적 혼란 45
• 다. 이어지는 의사소통적 갈등 그리고 학생들의 다양한 시도 52
• 3. 탐구 과제 수행 과정에서의 담론 분석 58
• 가. y=x-a/3에 관한 분석: 그래프를 활용하는 전략과 오개념 59
• 나. 3uv=-p에 관한 분석: 미지수에 대한 학생 이해와 오개념 65
• 다. 방정식 x^3-15x-4=0과 '4=-2+sqrt(3)'라는 역설 69
• V. 결론 및 제언 80
• 1. 결론 80
• 가. 연구 요약 80
• 나. 결론 및 논의 82
• 2.제언 85
• 참고문헌 87
• Abstract 94
• 부록 97