이분산성 공분산 행렬을 반영한 다변량 혼합 회귀 모형

국문 초록 (Abstract)

본 논문은 다변량 자료를 위한 공변량에 따라 공분산 행렬이 변하는 이분산성 자료에 적용되는 혼합 회귀 모형에 관한 기존 연구의 중요한 연구 공백을 다룬다. 우리는 체계적인 해결책을 개발하기 위해 먼저 혼합 모형과 EM 알고리즘을 제시한다. 이후, 공분산 행렬의 모형을 위하여 초구분해 (hypersphere decomposition)를 도입한다. 이 분해는 복잡한 모형화에서 흔한 장애물인 고차원 공분산 행렬의 양의 정부호성 (positive definiteness)을 유지하는 어려움을 극복하기 위해 사용된다. 그 결과로 나온 분석은 다수의 기저 군집에 걸쳐 이분산성을 보이는 자료를 성공적으로 모형화한다. 우리는 모의실험와 실 자료 분석을 통해 제안된 방법의 이론적 타당성과 실용적 성능을 모두 검증하고 그 강건함을 확인한다. 본 연구의 주요 기여는 일반적으로 기피되어 온 환경에서 다변량 혼합 회귀 모형을 성공적으로 적용했다는 점에 있다. 이 방법론은 공변량에 의존하는 분산과 복잡한 상관 구조를 갖는 상황에 실용적이고 가치 있는 분석 도구를 제공한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This thesis addresses the critical gap in existing research regarding mixture regression models applied to heteroscedastic data where data variance changes as a function of covariates. To develop a robust solution, we first review the theoretical foundation of mixture models and the expectation-maximization (EM) algorithm. Critically, we then introduce hypersphere decomposition into the framework. This decomposition is specifically used to overcome the difficulty of maintaining the positive definiteness of high-dimensional covariance matrices, a common obstacle in complex modeling. The resulting analytical framework enables modeling of data exhibiting heteroscedasticity across multiple underlying groups. We evaluate both the theoretical validity and practical performance of the proposed method using simulation studies and real-data analyses, confirming its robustness. The primary contribution of this work lies in the successful application of a multivariate mixture regression model in settings where it has typically been avoided. This methodology offers a practical and valuable analytical tool for situations characterized by covariate-dependent variance and complex inter-variable correlations.

목차 (Table of Contents)

• 1. 서론 1
• 2. 문헌고찰 4
• 2.1 혼합 모형 4
• 2.1.1 유한 혼합 모형 4
• 2.1.2 다변량 혼합 정규 모형 5
• 2.2 EM 알고리즘 6
• 2.2.1 [E-step] 7
• 2.2.2 [M-step] 7
• 2.3 혼합 회귀 모형 8
• 2.4 초구분해(Hypersphere Decomposition) 10
• 3. 이분산성 공분산 행렬을 반영한 다변량 혼합 회귀 모형 12
• 3.1 이분산성 공분산 행렬의 다변량 혼합 회귀 모형 12
• 3.2 이분산성 공분산 행렬을 반영한 다변량 혼합 회귀 모형의 모수 추정 15
• 3.3 추정된 모수의 표준오차 계산 19
• 4. 모의실험 23
• 4.1 모의실험Ⅰ 24
• 4.1.1 모의실험Ⅰ 설계 24
• 4.1.2 모의실험Ⅰ 결과 25
• 4.2 모의실험Ⅱ 27
• 4.2.1 모의실험Ⅱ 설계 27
• 4.2.2 모의실험Ⅱ 결과 28
• 4.3 모의실험Ⅲ 29
• 4.3.1 모의실험Ⅲ 설계 29
• 4.3.2 모의실험Ⅲ 결과 29
• 5. 실 자료 분석 37
• 5.1 자료 설명 및 분석 설계 37
• 5.2 분석 결과 및 해석 38
• 5.2.1 분석 결과 38
• 5.2.2 분석 결과 해석 39
• 6. 결론 및 논의점 42
• 참고 문헌 44