단위 조정 1단계 학생의 정수 덧셈 문제 해결 = Students’ Integer Addition Problem Solving at the First Stage of Units Coordination

국문 초록 (Abstract)

음수는 서로 반대되는 성질을 가진 양을 수로 나타내는 방법으로 도입되며, 중학교 1학년 ‘정수와 유리수’단원에서 처음 등장한다. 그러나 역사적으로도 음수를 수로 인정하기까지 오랜 시간이 걸렸던 만큼, 학생들이 정수의 개념을 이해하고 연산을 수행하는 것은 결코 단순한 일이 아니다. 특히 낮은 성취도의 학생들은 계산 규칙을 외우는 데 그치거나 부호의 의미를 혼동하며 문제 상황을 양적으로 해석하지 못하는 모습을 보인다. 따라서 단위 조정 1단계 학생이 정수 덧셈을 어떻게 인식하고 기준점을 구성하고 사용하는지를 탐구하는 연구가 학생들의 정수 개념 형성을 지원하는 교수학적 근거를 마련하는데 필요하다. 이에 본 연구는 단위 조정 1단계 학생들이 정수 덧셈 문제를 해결하는 과정에서 기준점을 어떻게 구성하고, 그것을 문제해결에 어떻게 사용하는가를 탐구하는 것을 목적으로 한다.
이를 위해 Norton 외(2015b)의 단위 조정 단계 서술 평가를 통해 울산광역시 소재의 중학교 1학년 학생 중 단위 조정 1단계에 해당하는 4명을 선정하여 각각 3차시의 임상 면담을 실시하였다. 면담 과제는 Ulrich(2012)와 장하리(2024)가 사용한 ‘여행문제’, ‘동전문제’, ‘물 문제’ 등을 수정 보완하여 구성하였으며 학생의 언어적 응답과 시각적 표현을 중심으로 분석하였다.
연구 결과 단위 단위 조정 1단계 학생은 다음과 같은 특징을 보였다. 첫째, 기준점을 명시적으로 구성하지 못하고 계산식의 첫 수를 암묵적인 기준으로 사용하는 비명시적 구성 양상을 보였다. 둘째, 기준점·변화량·결과 위치를 분리된 양으로 구성하지 못하고, 양적 관계를 수적 조작으로 환원하여 문제를 해결하였다. 셋째, 시각적 표현은 이동의 순서나 방향을 단순히 나타내는 수준에 머물러, 계산 절차를 재현할 뿐 양적 관계를 구성하는 도구로 기능하지 못하였다. 논의에서는 이러한 결과를 Steffe(2001)의 수계열 이론과 Norton 외(2015a)의 단위 조정 이론에 근거하여 해석하였다. 또한 본 연구는 장하리(2024)가 제시한 단위 조정 2,3단계 학생의 기준점 전환 양상을 확장하여 1단계 학생의 인지구조와 양적 조작의 한계를 구체적으로 드러냈다. 특히 Ulrich(2012)가 제시한 단위 조정 1단계 학생의 오류를 기준점의 비명시적 구성이라는 고유한 사고의 특성으로 재해석하였다. 이를 바탕으로 본 연구는 단위 조정 1단계 학생의 사고를 비명시적 구성, 고정된 기준점 사용, 기준점 전환이라는 연속적 발달 단계로 체계화함으로써 정수 덧셈에서의 단위 조정 발달 과정을 구체화하였다.
이러한 결과를 바탕으로 본 연구는 연구 문제 “단위 조정 1단계 학생은 정수 덧셈 문제에서 기준점을 어떻게 구성하고 그것을 문제 해결에 어떻게 사용하는가?”에 대해 다음과 같은 결론을 제시한다. 단위 조정 1단계 학생은 기준점을 비명시적으로 구성하며, 계산 절차 중심의 사고 속에서 기준점·변화량·결과 위치를 동시에 조정하지 못한다. 따라서 정수 덧셈에서의 인지적 어려움은 계산 규칙의 미숙이 아니라 기준점 구성과 단위 조정의 인지적 제약에 기인한 것으로 해석된다.
교수학적 시사점으로는 첫째, 기준점의 의미를 명시적으로 드러낼 수 있는 양적 맥락의 제공이 필요하다. 둘째, 무엇을 기준으로 변화가 일어나는가를 인식하도록 하는 발문 중심의 수업 설계가 필요하다. 셋째, 시각적 표현을 통한 기준점 전환의 경험이 필요하다. 마지막으로, 단위 조정 단계의 발달에 따른 기준점 구성 능력의 변화를 장기적으로 추적하는 연구와, 정수 곱셈 및 분수 맥락으로의 확장 연구가 이루어지길 바란다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구 문제 5
• Ⅱ. 선행 연구 및 이론적 배경 6
• 1. 양적 추론과 기준계 6
• 2. 단위 조정 단계와 수 계열 9
• 1) 단위 조정 단계 9
• 2) 수 계열 10
• 3. 단위 조정 단계에 따른 정수 연산 11
• 1) 정수 덧셈 상황에서의 기준점 사용 12
• 가) 단위 조정 3단계 학생의 기준점 사용 12
• 나) 단위 조정 2단계 학생의 기준점 사용 13
• 2) 단위 조정 1단계(TNS) 학생의 정수 덧셈·뺄셈 문제 해결 14
• 가) TNS 학생의 정수 덧셈·뺄셈 문제 해결 14
• 나) 단위 조정 1단계(TNS) 학생의 기준점 사용 15
• Ⅲ. 연구 방법 16
• 1. 연구 방법 16
• 2. 연구 절차 19
• 3. 연구 참여자 22
• 4. 면담 과제 25
• Ⅳ. 결과 분석 29
• 1. 기준점의 비명시적 구성 29
• 1) 동전 문제 29
• 2) 여행 문제 37
• 3) 물 문제 44
• 2. 계산 절차 중심의 기준점 사용 47
• 3. 시각적 표현의 제한 64
• Ⅴ. 논의 및 결론 77
• 1. 논의 77
• 2. 결론 84
• 참 고 문 헌 87
• A B S T R A C T 89
• <부록 1> 단위 조정 단계 서술 평가지 93
• <부록 2> 면담지 96
• <부록 3> 면담과제 99