Neural Implicit Surface Reconstruction via the Shortest Path Property and Viscosity Solutions of the Eikonal Equation = 최단경로 성질과 아이코날 방정식의 점성 해를 이용한 신경 암시적 곡면 복원

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Surface reconstruction from unstructured 3D point clouds is a fundamental challenge, especially in the presence of sparse, noisy, or incomplete data. To address the limitations of traditional meshing and signed distance function methods, we propose implicit neural frameworks: Neural Shortest Path (NSP) and Neural Eikonal Solver (NES). NSP learns both the distance function and its gradient via a magnitude-direction decomposition, ensuring convergence in the Sobolev space $H^1$ and enabling robust surface localization. NES approximates solutions to the eikonal equation using two formulations: a viscosity-regularized model (Vis-NES) and a Cole-Hopf-based linearization (CH-NES), both implemented as implicit neural representations. We also introduce surface extraction algorithms tailored to each framework, enhancing mesh quality without relying on traditional methods such as marching cubes. Extensive experiments on synthetic and real-world datasets demonstrate the accuracy, robustness, and theoretical grounding of the proposed methods.

국문 초록 (Abstract)

비정형 3차원 포인트 클라우드로부터의 곡면 복원은, 특히 데이터가 희소하거나 노이즈가 많고 표면이 불완전한 경우 여전히 어려운 문제입니다. 본 논문에서는 기존 메싱 기법이나 부호가 있는 거리 함수 기반 방법의 한계를 극복하기 위해 두 가지 암시적 신경망 기반 프레임워크인 신경 최단경로(Neural Shortest Path, NSP)와 신경 아이코날 방정식 해석기(Neural Eikonal Solver, NES)를 제안합니다. NSP는 거리 함수와 그 기울기를 크기-방향 분해 방식으로 동시에 학습하며, 소볼레프 공간(Sobolev space) 에서의 수렴을 보장하여 안정적인 곡면 복원을 가능하게 합니다. NES는 아이코날 방정식의 점성 해를 근사하며, 점성 정칙화 모델(Vis-NES)과 콜-호프 변환(Cole-Hopf transformation)을 통한 선형화 모델(CH-NES) 두 가지 방식으로 구성됩니다. 두 모델 모두 암시적 신경 표현으로 구현됩니다. 또한, 각각의 신경망 구조에 특화된 곡면 추출 알고리즘을 제안하여, 기존의 마칭 큐브(Marching cube)와 같은 기존 방식 없이도 고품질의 메쉬 생성을 달성합니다. 다양한 합성 및 실제 데이터셋에 대한 실험을 통해 제안한 방법들의 정확성, 강건성, 이론적 타당성을 확인하였습니다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• 1 Introduction 1
• 2 Preliminaries 7
• 2.1 Shortest path property 7
• 2.2 Vanishing viscosity method 9
• 2.2.1 Application to the eikonal equation 10
• 2.3 Cole-Hopf transformation 12
• 2.3.1 Application to the eikonal equation 13
• 2.4 Neural networks 14
• 3 Methods 16
• 3.1 Neural Shortest Path 16
• 3.1.1 Loss functions 17
• 3.1.2 Mathematical properties 20
• 3.2 Neural Eikonal Solver 27
• 3.2.1 Loss functions 29
• 3.2.2 Mathematical properties 32
• 4 Surface Extraction Algorithms 34
• 4.1 Shortest path-based surface extraction 34
• 4.2 Eikonal equation-based surface extraction 36
• 5 Experiments 38
• 5.1 Evaluation on toy examples 38
• 5.2 Surface reconstruction for various datasets 41
• 5.2.1 Results for the MGN dataset 42
• 5.2.2 Results for the ShapeNet dataset 44
• 5.2.3 Results for the 3D indoor scene dataset 46
• 5.3 Surface reconstruction for corrupted data 48
• 5.4 Further experimental results 53
• 6 Conclusion 57
• Abstract (in Korean) 69