Hamiltonian Floer homology and Topological entropy = 헤밀토니안 플뢰어 호몰로지와 위상적 엔트로피

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Hamiltonian Floer homology, developed by Andreas Floer in the 1980s, has become one of the most powerful tools in symplectic geometry for studying Hamiltonian systems. In this thesis, we study the topological entropy of Hamiltonian systems through persistences in Hamiltonian Floer homology.

In the first part of the thesis, we establish a result known as braid stability on symplectic surfaces, for the spectral distance. This leads to two persistence-type results for topological entropy: effective robustness and lower semicontinuity. In particular, effective robustness means that the topological entropy does not drop by more than $\epsilon$ under perturbations supported in a disk whose area is bounded by a constant depending on $\epsilon$.

In the second part, we define a Floer-theoretic entropy for Reeb flows via a variant of Hamiltonian Floer homology, referred to as symplectic homology barcode entropy. We show that the value of this entropy is independent of the choice of Liouville filling used in the definition. Furthermore, we prove that this barcode entropy provides a lower bound for the topological entropy.

국문 초록 (Abstract)

헤밀토니언 플뢰어 호몰로지는 1980년대 Andreas Floer에 의해 개발된 이후, 헤밀토니언 계의 연구를 위한 사교기하학의 가장 강력한 도구 중 하나로 자리잡았습니다. 본 학위 논문에서는 헤밀토니언 플뢰어 호몰로지의 지속성을 이용하여 헤밀토니언 계의 위상적 엔트로피를 연구합니다.

논문의 첫 번째 부분에서는 스펙트럼 거리에 대한 꼬임 안정성을 사교곡면 위에서 정립합니다. 이를 바탕으로 위상적 엔트로피에 대한 두 가지 지속성, 유효견고성과 하반연속성을 증명합니다. 여기서 유효견고성이란 위상적 엔트로피가 원판에 지지된 작은 섭동에 대해서도 일정 이하로만 감소함을 의미하며, 그 감소 폭은 디스크의 면적에 의해 제어됩니다.

논문의 두 번째 부분에서는 헤밀토니언 플뢰어 호몰로지의 변형인 심플레틱 호몰로지를 바코드의 형태로 도입하고, 이를 이용하여 Reeb 흐름의 플뢰어 이론적 엔트로피를 정의합니다. 이후, 이 엔트로피는 정의에 사용된 리우빌 충전의 선택에 무관함을 보이며, 더 나아가 해당 바코드 엔트로피가 위상적 엔트로피에 대한 하계를 제공함을 증명합니다.

목차 (Table of Contents)

• 1. Introduction (1쪽)
• 2. Preliminaries on symplectic geometry (21쪽)
• 3. Braid stability and the spectral distance (109쪽)
• 4. Barcode entropy for Reeb flows (147쪽)
• Bibliography (187쪽)