Constructions of classical W-superalgebras and their application to integrable systems = 고전 W-초대수의 구성 및 적분가능계에 대한 응용

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Let $f$ be an even nilpotent element in a basic classical Lie superalgebra $\mathfrak{g}$. This thesis establishes two complementary methodologies for the explicit presentation of Poisson $\lambda$-brackets as an algebraic structure in classical $\mathcal{W}$-superalgebras $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$.
The first methodology provides a reinterpretation of the Poisson $\lambda$-bracket relations in the classical $\mathcal{W}$-superalgebra $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$, subject to a given basis of the centralizer $\mathfrak{g}^{f}$. To accomplish this objective, we introduce a framework of Dirac reductions of Poisson vertex superalgebras. Subsequently, a modified Dirac reduction procedure is implemented to realize Poisson $\lambda$-brackets for $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$ with a choice of constraints in the affine Poisson vertex superalgebra. For the parity-reversed space $\overline{\mathfrak{g}}$ of $\mathfrak{g}$ and an odd nilpotent element $F\in\mathfrak{g}$, we repeat analogous arguments to reinterpret Poisson $\Lambda$-brackets of classical SUSY $\mathcal{W}$-algebras $\mathscr{W}(\overline{\mathfrak{g}},F)$ as modified Dirac reduced brackets.
The second methodology concerns the construction of integrable systems on classical $\mathcal{W}$-superalgebras $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$, where $f$ represents an even rectangular nilpotent element in $\mathfrak{g}:=\mathfrak{gl}_{m|n}$ with $\mathrm{gcd}(m,n)\neq 1$. This construction is based on finding generators of $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$ and their Poisson $\lambda$-brackets explicitly. To this end, we introduce super Adler-type operators, motivated by super-analogues of Gelfand-Dickey brackets. We show that the property of being super Adler-type is preserved under taking the quasideterminant. Therefore, these operators play a crucial role in obtaining Poisson vertex superalgebras that are isomorphic to $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$. Employing the Lenard-Magri recursive scheme, we prove the existence of integrable hierarchies associated with these rectangular $\mathcal{W}$-superalgebras.

국문 초록 (Abstract)

기본 고전 리 초대수 $\mathfrak{g}$의 원소 $f$를 짝 멱영원이라고 상정하자. 본 학위 논문은 대수적 구조로서 고전 $\mathcal{W}$-초대수 $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$가 지닌 푸아송 $\lambda$-괄호의 결과를 제시하는 두 가지 상호 보완적인 방법론을 확립한다.
첫 번째 방법론은 $\mathfrak{g}$의 중심화 부분 대수 $\mathfrak{g}^{f}$의 기저가 주어졌을 때, 고전 $\mathcal{W}$-초대수의 푸아송 $\lambda$-괄호의 재해석을 제공한다. 이 목표를 달성하기 위하여, 푸아송 꼭짓점 초대수에 대한 디랙 축소 이론을 도입한다. 이어서 수정된 디랙 축소 절차를 제약 조건의 선택과 함께 아핀 푸아송 꼭짓점 초대수 안에서 수행하여, 이를 통해 고전 $\mathcal{W}$-초대수의 푸아송 $\lambda$-괄호를 재현한다. 또한, 리 초대수 $\mathfrak{g}$의 부호 반전 공간 $\overline{\mathfrak{g}}$와 홀 멱영원 $F\in\mathfrak{g}$ 에 대하여, 위와 유사한 논증을 반복하여 고전 초대칭 $\mathcal{W}$-대수 $\mathscr{W}(\overline{\mathfrak{g}},F)$의 푸아송 $\Lambda$-괄호 역시 수정된 디랙 축소 괄호로써 재해석한다.
두 번째 방법론은 두 자연수 $m$과 $n$이 서로소가 아닌 경우, 일반 선형 리 초대수 $\mathfrak{g}:=\mathfrak{gl}_{m|n}$과 직사각형 짝 멱영원 $f$에 결부된 고전 $\mathcal{W}$-초대수 $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$ 위의 적분가능계 구성에 관한 것이다. 이 구성은 $\mathcal{W}(\mathfrak{g},f)$의 생성원과 그들의 푸아송 $\lambda$-괄호의 명시적 형태를 찾는 것에 기반한다. 이를 위하여, 초 아들러 타입 연산자를 Gelfand-Dickey 괄호로부터 유추하여 도입한다. 초 아들러 타입 성질이 준행렬식을 취해도 보존된다는 사실을 밝힘으로써, 이 성질을 가지는 연산자들이 직사각형 $\mathcal{W}$-초대수와 동형인 푸아송 꼭짓점 초대수를 얻는 과정에서 중요한 역할을 함을 설명한다. 추가로 Lenard-Magri 재귀적 도식을 이용하여 직사각형 $\mathcal{W}$-초대수를 바탕으로 한 적분가능 위계의 존재성을 증명한다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• 1 Introduction 1
• 1.1 Dirac reductions and classical W-algebras 4
• 1.2 Adler-type operators and classical W-algebras 8
• 2 Preliminaries 14
• 2.1 Poisson vertex superalgebras and their supersymmetric analogues 14
• 2.1.1 Non-local Poisson vertex superalgebras 15
• 2.1.2 Non-local SUSY Poisson vertex algebras 19
• 2.2 Classical W-superalgebras and their supersymmetric analogues 23
• 2.2.1 Structures of classical W-superalgebras 23
• 2.2.2 Structures of classical SUSY W-algebras 28
• 2.3 Integrable Hamiltonian systems via Poisson vertex superalgebras 31
• 2.4 Formal differential calculus 34
• 3 Modified Dirac reductions and classical W-superalgebras 40
• 3.1 Dirac reductions toward classical W-superalgebras 40
• 3.1.1 Dirac reductions of Poisson vertex superalgebras 41
• 3.1.2 Classical W-superalgebras via modified Dirac reductions 50
• 3.2 Supersymmetric analogues of Section 3.1 57
• 3.2.1 Dirac reductions of SUSY Poisson vertex algebras 57
• 3.2.2 Classical SUSY W-algebras via modified Dirac reductions 70
• 4 Super Adler-type operators and classical W-superalgebras 77
• 4.1 Adler-type pseudodifferential operators and their matrix generalizations 78
• 4.1.1 Gelfand-Dickey brackets and Adler-type operators 78
• 4.1.2 Matrix super Adler-type operators associated with gl_{m
• n} 81
• 4.1.3 Matrix sATOs and a compatible pair of λ-brackets 84
• 4.2 Classical W-superalgebras via super Adler-type operators 89
• 4.2.1 Quasideterminants of matrix super Adler-type operators 89
• 4.2.2 Rectangular W-superalgebras and super Adler-type operators 93
• 4.2.3 Examples 103
• 4.3 An integrability in classical W-superalgebras 105
• 4.3.1 Fractional powers of matrix pseudo-differential operators 105
• 4.3.2 Integrable hierarchies on a rectangular W-superalgebra 108
• 5 Appendix 116
• 5.1 Jacobi identity for super Adler-type operators 116
• Abstract (in Korean) 124