Computational Symplectic Topology and the Restricted Three-Body Problem = 삼체문제의 사교위상에 대한 계산적 방법 연구

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The restricted three-body problem describes the motion of a massless object under the gravitational influence of two heavy celestial bodies. In the Hamiltonian formulation, symplectic topology has provided a framework to study the global dynamics in relation to the topological properties of the phase space and energy surfaces. A longstanding problem in this context is the Birkhoff conjecture, which predicts the existence of a disk-like global surface of section for energies below the first critical value of the Hamiltonian.

In this thesis, we adopt a symplectic topological perspective to study the restricted three-body problem, and propose a computational framework for proving the Birkhoff conjecture. Using validated numerics, we rigorously establish the existence of planar retrograde and direct periodic orbit families over a wide range of perturbative mass ratios and energy levels. We also introduce a method to rigorously compute the Conley-Zehnder index of periodic Hamiltonian orbits, providing initial steps for developing computational Floer homology.

Combining these results with the convexity properties of energy surfaces, we identify the retrograde and direct orbits as binding orbits for disk-like global surfaces of section within a selected non-perturbative range of parameters. Finally, we provide and verify an explicit formula for such a surface of section, offering concrete progress towards the Birkhoff conjecture.

국문 초록 (Abstract)

제한 삼체문제(restricted three-body problem)는 두 개의 천체의 중력 영향 하에서 질량이
무시된 물체의 운동을 다룬다. 해밀턴 역학의 틀에서, 사교 위상수학(symplectic topology)
은 해당 문제의 위상 공간과 에너지 곡면의 위상적 성질을 바탕으로 전역 동역학을 연구
할 수 있는 이론적 틀을 제공한다. 이 맥락에서 오래된 난제 중 하나는 버코프(Birkhoff)
추측으로, 이는 해밀토니안의 첫 번째 임계값 이하의 에너지에서 원판 형태의 대역 절단면
(global surface of section)의 존재를 예측한다.
본 논문에서는 제한 삼체문제를 사교 위상수학의 관점에서 분석하고, 버코프 추측을 증
명하기 위한 계산적 틀을 제안한다. 검증된 수치 기법(validated numerics)을 이용하여, 다
양한 질량비와 에너지 매개변수에 걸쳐 평면 역행(retrograde) 및 순행(direct) 주기궤도의
존재를 엄밀하게 확립한다. 또한 해밀토니안 주기궤도의 콘리-젠더 지표(Conley-Zehnder
index)를 엄밀하게 계산할 수 있는 방법을 소개하며, 이를 통해 계산적 플로어 호몰로지
(Floer homology)의 개발을 위한 초기 단계를 마련한다.
이러한 결과와 에너지 면의 볼록성(convexity) 특성을 결합하여, 역행 및 순행 궤도가
선택된 비섭동(non-perturbative) 매개변수 범위 내에서 원판형 대역 절단면을 묶는 궤도
(binding orbit)임을 확인한다. 마지막으로, 이러한 절단면에 대한 명시적인 수식을 제시하
고 이를 검증함으로써, 버코프 추측에 대한 구체적인 진전을 이룬다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• 1 Introduction 1
• 1.1 The Birkhoff conjecture on the restricted three-body problem 1
• 1.2 Main results and related work 3
• 2 A Geometric Description of Hamiltonian Dynamics 7
• 2.1 Symplectic manifolds 7
• 2.2 Hamiltonian mechanics 8
• 2.3 Contact type hypersurfaces 9
• 2.4 Noether’s theorem 11
• 2.5 Integrable systmes 13
• 3 The Restricted Three-Body Problem 15
• 3.1 Problem formulation 15
• 3.2 Rotating coordinates 16
• 3.3 Lagrange points 18
• 3.4 Moser Regularization 19
• 3.5 Levi-Civita Regularization 21
• 4 Periodic Orbits 24
• 4.1 Local perturbation theory 24
• 4.2 Variational approach 27
• 5 Computational Symplectic Topology 30
• 5.1 Taylor method 30
• 5.2 Methods from validated numerics 31
• 5.3 Frames and local invariants of orbits 32
• 5.4 Conley-Zehnder index 35
• 5.4.1 For paths of symplectic matrices 35
• 5.4.2 Conley-Zehnder index of planar orbits 37
• 5.5 Validated index computations 38
• 6 Global Surfaces of Section 44
• 6.1 Definition and the return map 44
• 6.2 Open book decompositions 46
• 6.3 Dynamical convexity 47
• 6.4 Convexity of the restricted three-body problem 49
• 7 Symmetric Orbits in the Restricted Three-Body Problem 53
• 7.1 Symmetries 54
• 7.2 Retrograde and direct orbits 56
• 7.3 Main results 58
• 7.4 Crossing theorem 60
• 7.5 Action theorems 64
• 7.6 Proof of unknottedness and self-linking number 66
• 8 An Explicit Global Surface of Section for the Restricted Three-Body Problem 68
• 8.1 Introduction 68
• 8.2 Proof of transversality 69
• 8.3 Proof of return property 72
• 8.4 Numerical experiments 74
• Abstract (in Korean) 79