Analyzing coating layer shapes in metric space = 거리 공간에서의 코팅층 형상 분석

국문 초록 (Abstract)

코팅 공정은 기재 위에 코팅 용액을 도포하여 액체층을 형성하는 방법이다. 코팅 공정으로 생산된 제품의 품질을 좌우하는 핵심 요소는 도포된 코팅층의 형상이다. 대부분의 코팅층은 평활한 기재 위에 도포되어 얇고 균일한 두께를 갖는 것을 최적의 형상으로 하며, 이를 달성하기 위해 공정 조건은 코팅층의 평균 두께 및 균일도를 정량 지표로 삼아 설계된다. 그러나 최근 산업계에서 코팅 공정의 양태가 다변화됨에 따라, 기존의 방법으로는 정량화할 수 없는 복잡한 형상 지표를 분석하고 제어해야 할 필요성이 대두되고 있다. 이에 본 논문에서는 코팅층의 형상을 거리 공간에서 분석함으로써, 임의의 코팅층 형상을 정량화하고 모형화하는 방법을 제안하고자 한다.

코팅층 형상 데이터는 일반적으로 유한 개의 점들의 집합으로 구성된다. 이때 각각의 형상 데이터를 유클리드 공간에서의 유한 차원 벡터로 취급할 경우, 다음과 같은 문제가 발생한다. 첫 번째는 점들의 재표본화 문제이다. 각각의 데이터를 구성하는 점들의 개수는 다를 수 있으므로, 이들을 동일한 공간에서 취급하기 위해서는 모든 데이터를 동일한 개수의 점들로 다시 표현해야 한다. 이 과정에서 어떤 방식으로 데이터를 재표본화하는지에 따라 두 벡터 사이의 거리가 달라지게 된다. 두 번째는 데이터의 비선형성 문제이다. 형상 데이터는 유클리드 공간에서 대개 비선형적인 부분 공간을 형성하며, 이 공간의 구조를 파악하기 위해서는 많은 수의 데이터가 필요하다. 세 번째는 점들의 대응 관계 문제이다. 유클리드 공간에서의 벡터 거리는 두 벡터의 성분을 일대일로 대응시키는데, 이 경우 실제로는 비슷한 형상 사이의 비유사도가 불필요하게 커질 수 있다. 따라서 임의 형상의 코팅층 데이터는 일반적인 방식으로 분석하기에 어려움이 따르지만, 이들을 거리 공간의 원소로 취급할 경우 기존의 문제점들을 우회할 수 있게 된다.

본 논문의 목표는 코팅층의 형상을 거리 공간에서 분석하는 방법을 제안하고 그 적용 사례를 제시함으로써 보다 효율적인 공정 최적화의 기틀을 마련하는 것이다. 코팅층의 형상은 그 외관을 어떻게 측정하는지에 따라 곡선 또는 곡면을 이루는 점들로 표현되며, 본 논문에서는 곡선으로 표현되는 외관 형상만을 대상으로 한다. 본 논문의 2장에서는 곡선 사이의 유사도 지표인 프레셰 거리(Fréchet distance)와 그 파생 개념을 사용해, 단순한 형태의 코팅층에 대해서 정의된 기존의 균일도 지표를 임의의 형상에 대해 새롭게 정의한다. 이를 이용한 사례로 유한 깊이 딥코팅 공정에서의 도포 형상을 정량화하고, 새로운 지표가 기존의 지표보다 우수함을 보인다. 이어서 3장에서는 특징점(landmark)을 이용해 코팅층의 형상을 분석하는 접근법을 제시한다. 해당 방법을 사용해, 코팅층 가장자리 외관 형상에 대한 분류 알고리즘을 개발한다. 마지막으로 4장에서는 특징점에 기반하지 않고 거리 공간에서 코팅층의 형상을 분석하는 방법을 제안한다. 특히, 프레셰 회귀(Fréchet regression)를 사용해 공정 조건에 따른 코팅층 형상의 데이터 기반 모형화 방법을 제시한다. 이를 통해 공정 조건과 코팅층 가장자리 외관 형상 사이의 관계를 분석하고, 그 경향성을 물리적으로 해석하고자 한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The coating process is a method of forming a liquid layer by applying a coating solution onto a substrate. The key factor determining the quality of products pro
duced by the coating process is the shape of the coated layer. Most coating layers are applied onto flat substrates and are considered optimal when they have a thin and
uniform thickness. To achieve this, process conditions are designed using the average thickness and uniformity of the coating layer as quantitative measures. However, due to diverse applications of recent coating process, there is an emerging need to analyze and control shape features that cannot be quantified using traditional methods. This thesis aims to introduce methods to quantify and model arbitrary-shaped coating layers by analyzing their profiles in metric space.

Coating layer data are generally composed of a finite set of points. When the shape data are treated as a finite-dimensional vectors in Euclidean space, the following problems arise. The first issue is resampling of points. Since the number of points constituting each data may differ, it is necessary to resample all profiles with the same number of points in order to handle them in a same vector space. Depending on how the resampling is performed, the distance between two vectors can be different. The second issue is nonlinearity of the data. Shape data typically form a nonlinear subspace in Euclidean space, and reconstructing the structure of this space requires a large amount of data. The last issue is the optimal matching between points. The vector distance in Euclidean space matches the components of two vectors one-to-one, which can unnecessarily increase the dissimilarity between similar shapes. Because of these issues, it is difficult to analyze arbitrary coating layer data using conventional methods. However, many of these challenges can be circumvented by treating the data as elements in a metric space.

This thesis aims to establish a foundation for analyzing coating layer shapes within a metric space and to present application cases, thereby facilitating more efficient process optimization. The shape of a coating layer can be represented as a set of points forming a curve or surface, depending on how it is measured; in this paper, the focus is solely on profiles represented as curves. In Chapter 2, conventional uniformity measure for simple geometries is generalized to accommodate arbitrary shapes. The Fr´ echet distance and its variations, which are similarity measures between curves, are employed for this generalization. As a case study, the shapes of coating layers in a finite-depth dip coating process are quantified, demonstrating that the new measure outperforms the conventional one. Next, in Chapter 3, a landmark based analysis of coating layer shapes is introduced. Using this method, a classification algorithm for coating layer edge profiles is developed. Finally, in Chapter 4, a landmark-free analysis of coating layer shapes in metric space is presented. In particular, a data-driven estimation of the shape model over process conditions using Fréchet regression is proposed. Through this approach, the relationship between process conditions and edge profile shapes is identified and physically interpreted.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• Contents iii
• List of Tables vi
• List of Figures vii
• 1. Introduction 1
• 1.1 Coating layer shapes 2
• 1.2 Statistical shape analysis 3
• 1.2.1 Landmark-based representation 4
• 1.2.2 Landmark-free representation 5
• 1.3 Shape metrics for coating layers 7
• 1.4 Overview of thesis 8
• 2 Measuring global coating layer quality 10
• 2.1 Definition and motivation 10
• 2.1.1 Coating uniformity measures 11
• 2.1.2 Case: Dip coating with finite immersion depth 13
• 2.2 Average thickness by parallel curve 14
• 2.3 Coating uniformity by curve similarity 15
• 2.3.1 Curve similarities 16
• 2.3.2 Properties of curve similarities 18
• 2.3.3 Generalized surface roughness 21
• 2.4 Methods and results 22
• 3 Landmark-based coating layer classification 26
• 3.1 Motivation: Heavy edge profiles 27
• 3.2 Backgrounds: Landmark-based shape analysis 30
• 3.2.1 Pre-shape and shape 30
• 3.2.2 Pre-shape space 32
• 3.2.3 Principal nested spheres analysis 33
• 3.3 Coating layer classification 35
• 3.3.1 Data description 35
• 3.3.2 Step1: Neural network for pseudo-landmarks 37
• 3.3.3 Step2: PNS+SVM for mathematical landmarks 40
• 3.4 Results and discussions 41
• 3.4.1 Classification performance 42
• 3.4.2 Effect of process conditions 45
• 3.4.3 Discussion 47
• 4 Function-based coating layer modeling 49
• 4.1 Motivation: Heavy edge shape model 49
• 4.1.1 Effect of die shoulder wetting 51
• 4.1.2 Edge shape descriptors 54
• 4.2 Function-based shape regression 56
• 4.2.1 Background: Elastic shape analysis 56
• 4.2.2 Shape regression model 59
• 4.2.3 Fréchet regression 60
• 4.3 Edge profile shape model 62
• 4.4 Results and discussion 68
• 4.4.1 Edge ratio under die shoulder wetting 68
• 4.4.2 Edge shape descriptors 72
• 4.4.3 Shape regression 75
• 5 Summary 82
• 5.1 Contributions of thesis 82
• 5.2 Future topics 84
• 5.2.1 Advanced shape 84
• 5.2.2 Principles of edge superelevation 85
• Appendices 87
• A Benchmarks for classification models 87
• A.1 Neural network 87
• A.2 PNS+SVM 90
• A.3 Full classification 90
• B Effects of shape distance for edge profile shape model 93
• B.1 Cross validation loss 95
• B.2 Profile type prediction 96
• B.3 Shape descriptor prediction 98
• Nomenclature 100
• Abstract (In Korean) 108