분수 나눗셈 지도 순서와 지도 방법에 대한 비교 분석 : -한국, 일본, 미국, 싱가포르, 핀란드를 중심으로- = Comparative Analysis of Instructional Sequences and Methods for Fractional Division:Focusing on Korea, Japan, USA, Singapore and Finland|RISS 상세보기

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Fractional division is the highest level of operation in the area of Numbers and Operations in elementary mathematics curriculum. The 2009 revised curriculum prescribes that the second graders must start learning fractional numbers by stages. Students often find fractional numbers difficult to learn despite substantial efforts for learning how to divide fractions over a long period of time. Fractional division seems to be the most challenging part to teach and learn among the four fundamental arithmetic operations. Textbooks need to facilitate teaching and learning in a way that fractional division will not be limited to simple application of algorithms but become calculations based on students' understanding of concepts. In this context, the present study raised the following questions to comparatively analyze and validate elementary mathematics textbooks for fifth and sixth graders in countries of high pedagogical outcomes and close relevance to Korea in light of organized systems, instructional methods and timings as well as to seek better approaches.

1. How are instructional timings and sequences of fractional division presented in Korea, Japan, the USA, Singapore and Finland?
2. How are instructional methods for fractional division presented in Korea, Japan, the USA, Singapore and Finland?

To explore the study questions abovementioned, Korean math textbooks for fifth and sixth graders as per the 2007 revised curriculum, Japanese 新しい算數 5-A, 5-B and 6-A from Tokyo Books, the USA Go Math 6 from Houghton Mifflin Harcourt, Singaporean My Pals Are Here! 5A and 6A from Marshall Cavendish Education and Finnish Laskutaito in English 5-2 and 6-2 from WSOY were chosen for analysis.

It should be noted that the instructional timings and sequences of fractional division prescribed in both curriculums and textbooks were analyzed here and that instructional methods were analyzed in terms of 4 categories, viz. unit structures, visual models, sentence-based problems and algorithmic formulation.

Below are the findings concerning the instructional timings and sequences of fractional division.
As for the instructional timings for fractional division, the number of units vary marginally and prove similar in general between countries, which suggests that the instructional timing of fractional division in Korea is appropriate. As for the analysis of instructional sequences, Korea and Singapore teach fractional division by clarifying different kinds of fractional numbers, whereas the instructional sequence in the USA appears to be vague. In common, Korea, Japan, Singapore and Finland teach fractional division first with divisors of natural numbers and then of fractional numbers.

Below are the findings of instructional methods for fractional division. Instructional methods were analyzed in terms of 4 aspects. First, fixed forms of unit structures are found in Korea, Singapore, the US and Finland, whereas unit structures vary with contents in Japan. Japan quantitatively differentiates the content of fractional division in line with levels of difficulties and has many pages reserved for diverse approaches to algorithmic formulation for fractional divisors.
Second, concerning the types of sentence-based problems and materials, Singapore and the US have relatively many sentence-based problems, whilst Japan presents various types of sentence-based problems. Commonly, quotitive division for natural-number divisors and partitive division for fractional divisors are used. Notably, Japan formulates algorithms using multiple problems about determination of unit rates. In view of materials, the US and Singapore adopt real-life issues appropriately intended to help develop a sense of reality.
Third, concerning the analysis of visual models, fraction bars are most frequently used. Singapore and the US mostly use models of fraction bars to induce conceptual understanding from students, whilst Japan uses double vertical lines to visualize the problems related to determining unit rates.
Fourth, algorithmic formulation varies significantly between countries. Korea draws on the reduction to common denominators for divisions between numerators to derive algorithms, whereas Japan presents multiple methods for determining unit rates to have students understand those methods converge on multiplication by reciprocal numbers of divisors. The USA presents the correct concept of a reciprocal number without rationales for multiplication by reciprocals, and guides students to multiply reciprocal numbers of divisors as a way to verify if results are consistent between intuitive division and multiplication by reciprocal numbers. Singapore does not present the meaning of a reciprocal number, while the rest processes are same as the USA to demonstrate that dividing by a divisor corresponds to multiplying by the reciprocal of the divisor in that the result of fraction bars equals to that of multiplying by the reciprocal of the divisor. Lastly, Finland is most distinctive in that no process is presented to make algorithms understood. Instead, algorithms are explicitly presented straightforwardly, while guiding students to learn through exercises.

The following implications may be extracted from the analysis findings. First, sentence-based mathematical problems should be diversified. It is necessary to deal with an array of problems associated with the quotitive and partitive divisions, the determination of unit rates, the inverse of Cartesian products and the inverse of multiplication and to include complex problems that require application of four fundamental arithmetic operations of fractions learned and that help experience various ways of dividing fractions.
Second, visual models should be provided sufficiently. Korean math textbooks present diverse kinds of visual models but still not sufficient quantitatively. Instead, local math textbooks tend to rely more on formul

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국문 초록 (Abstract)

분수의 나눗셈은 초등학교 수학 교육과정의 수․연산 영역 중 가장 높은 수준의 연산이다. 현행 2009 개정 교육과정에서는 2학년부터 단계적으로 분수를 학습하기 시작한다. 오랜 기간에 걸쳐 상당히 많은 양의 분수를 학습하고 있지만 학생들은 분수 학습을 어려워하는 경우가 많다. 초등 수학의 사칙연산 중 학생들이 가장 이해하기 어렵고 교사가 지도하기 어려운 부분이 분수의 나눗셈 부분일 것이다. 분수의 나눗셈이 단순히 알고리즘의 적용에 그치지 않고 학생들에게 개념 이해에 바탕을 둔 계산이 되게 하려면, 교과서가 교사가 가르치기 쉽고 학생들에게 이해되기 쉬운 방식으로 구성되어야 할 것이다. 따라서 본 연구에서는 교육적 성과가 높고 우리나라와 밀접한 관련을 갖는 나라를 선정하여 현재 5학년과 6학년에서 사용 중인 교과서와 구성 체계와 지도 시기, 지도 방법 등을 비교․분석함으로써 그 타당성을 점검하고 더 나은 방법을 모색하고자 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.

1. 한국, 일본, 미국, 싱가포르, 핀란드의 분수의 나눗셈 지도 시기와 지도 순서가 각 나라마다 어떻게 제시되어 있는가?
2. 한국, 일본, 미국, 싱가포르, 핀란드의 분수의 나눗셈 지도 방법은 각 나라마다 어떻게 제시되어 있는가?

위의 연구문제를 해결하기 위해 한국의 경우에는 2007 개정 교육과정에 따른 5학년과 6학년 수학교과서를 선정하였고, 일본은 동경서적, 新しい算數 5-上, 5-下, 6-上, 미국은 Houghton Mifflin Harcourt, Go math 6, 싱가포르는 Marshall Cavendish Education, My Pals are here! 5A, 6A, 핀란드는 wsoy, Laskutaito in English 5-B, 6-B를 선정하여 분석하였다.
연구 방법을 살펴보면, 분수 나눗셈의 지도 시기 및 지도 순서는 교육과정과 교과서 상의 지도 시기와 순서를 분석하였으며 지도 방법은 단원 구성, 시각적 모델, 문장제 유형, 알고리즘의 형식화 방법의 4가지 범주로 나누어 분석하였다.

본 연구를 통해 얻은 분수 나눗셈의 지도 시기 및 지도 순서에 관한 분석 결과는 다음과 같다.
분수 나눗셈의 지도 시기는 단원 수에는 조금씩 차이가 나지만 거의 대동소이하며 현재 한국의 지도 시기는 적절한 것으로 판단된다. 지도 순서 분석에서는 한국이나 싱가포르처럼 명확하게 분수의 종류에 따라 구분하여 지도하는 경우도 있으나 미국과 같이 지도 순서가 불명확한 나라도 있다. 하지만 대체로 한국, 일본, 싱가포르, 핀란드의 경우 제수가 자연수인 나눗셈을 먼저 지도하고 제수가 분수인 나눗셈을 나중에 지도하는 것은 공통적인 지도 순서이다.

다음으로 분수 나눗셈 지도 방법에 관한 분석 결과는 다음과 같다.
첫째, 단원구성면에서 고정된 형태를 보이는 나라는 한국과 싱가포르, 미국, 핀란드이고 내용에 따른 변화가 큰 나라는 일본이다. 일본은 분수 단계의 난이도에 따라 분량이 크게 달랐으며 알고리즘이 본격적으로 도입되는 제수가 분수인 나눗셈에서는 여러 장에 걸쳐 여러 가지 방법으로 알고리즘 형식화를 시도하였다.
둘째, 문장제 문제의 유형과 소재 측면에서는 문장제의 개수가 많은 나라는 싱가포르와 미국이고 문장제 유형이 다양한 나라는 일본이었다. 공통적으로 제수가 자연수인 경우에는 등분제, 제수가 분수인 경우에는 포함제가 많이 사용되었으나 일본의 경우 단위 비율 결정 문제를 많이 사용하여 알고리즘을 형식화시킨 것이 눈에 띈다. 소재 면에서 미국과 싱가포르가 실생활면의 소재를 적절하게 사용하여 현실감을 높였다.
셋째, 시각적 모델 측면에서 분석한 결과, 가장 많이 사용된 시각적 모델은 단연 분수막대이다. 싱가포르와 미국의 경우 거의 대부분 분수 막대를 이용한 모델을 통해 개념 이해를 유도하고 있었으며 일본의 경우 이중으로 된 수직선을 이용하여 단위 비율 결정 문제를 시각화하려 하였다.
넷째, 알고리즘의 형식화 측면에서 살펴보면, 나라별로 큰 차이를 보인다. 한국은 통분을 통해 분자끼리의 나눗셈으로 유도하여 알고리즘을 도출하며 일본은 단위 비율 결정 문제를 이용하여 여러 가지로 형식화하는 방법을 제시하고 그 방법들의 공통점이 ‘제수의 역수를 곱하는 것’임을 알게 한다. 미국은 역수의 정확한 개념을 제시하지만 역수를 곱하는 명확한 이유가 드러나지 않으며 직관적인 나눗셈 결과와 역수를 곱한 결과가 같음을 확인하는 방법으로 제수의 역수를 곱하도록 유도한다. 싱가포르에서는 미국처럼 역수의 의미를 제시하지는 않지만 나머지 과정은 미국의 방법과 마찬가지로 분수막대를 이용한 결과와 제수의 역수를 곱한 결과가 같음을 확인하여 제수로 나누는 것이 제수의 역수를 곱하는 것과 같다는 것을 주지시킨다. 마지막으로 핀란드의 경우는 가장 특이한 경우로 알고리즘을 이해시키기 위한 어떠한 과정도 등장하지 않고 바로 알고리즘을 명시적으로 제시하고 연습문제를 통해 익히게 한다.

분석 결과를 통해 추출할 수 있는 결론은 다음과 같다.
첫째, 문장제 유형을 다양화할 필요가 있다. 등분제와 포함제 문제만이 아니라 단위 비율 결정, 카테시안 곱의 역, 곱셈의 역 등 보다 다양한 유형을 다루며 이

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분수의 나눗셈은 초등학교 수학 교육과정의 수․연산 영역 중 가장 높은 수준의 연산이다. 현행 2009 개정 교육과정에서는 2학년부터 단계적으로 분수를 학습하기 시작한다. 오랜 기간에 걸...