수학문제 풀이과정에서 나타나는 오류유형에 관한 연구 : 고등학교 함수단원을 중심으로 = A Study on the Types of Error in Problem-Solving Process : Focus on the function unit of high school

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 주요목적은 고등학교 1학년 학생들의 수학 문제 해결 과정에서 이차함수의 활용에 대한 오류의 유형을 조사하고 그 원인을 분석하여 개선책을 제시하고자 하였다.
연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 문제를 설정하였다.
첫째, 고등학교 1학년 학생들의 이차함수의 활용영역에서 발생하는 오류유형을 분석한다.
둘째, 각각의 오류의 유형에 따라 오류의 원인을 분석하여 그 개선책을 제시한다.
본 연구를 수행하기 위해서 거제시에 소재하는 K고등학교 1학년을 대상으로 총 100명을 선정하여 조사 연구하였다. 오류 유형 검사지는 고등학교 1학년에서 공통으로 다루어지는 교과서 수준의 난이도로 만들어졌고, 이차함수의 활용 영역의 3유형별로 3문제씩 총9문항으로 구성되었다. 학생들이 제시한 문제 해결 과정을 통하여 이차함수의 활용에 대한 오류 유형과 원인 및 개선책을 분석하였다.
이차함수의 활용 영역의 오류 유형의 분석 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
첫째, 이차함수의 활용 영역에 관한 문제 해결 과정에서 나타난 오류는 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류(34.7%)가 가장 많았고, 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류(28.6%), 문제의 자료를 잘못 사용한 오류(17%), 기술적인 오류(13.9%), 애매한 오류(4.1%), 풀이과정을 생략한 오류(1.7%)순으로 나타났다.
둘째, 학생들은 수학적 정리나 정의를 이해하지 못한 상황에서 문제 풀이에 적용시켜 부적절한 정리나 정의로 고착화하여 오류를 발생한다. 이를 개선하기 위해서 교사는 학생에게 친숙하고 알기 쉬운 용어로 설명을 해야 하며, 보다 구체적이고 다양한 그래프 및 자료로 학생들의 오류를 예방해야한다.
셋째, 학생들은 이차함수와 직선의 위치관계에서 이차함수와 이차방정식의 관계를 이해하는 것이 아니라 단순히 판별식만을 사용하여 문제를 해결하기 때문에 오류가 많이 발생하는 것을 알 수 있었다.
넷째, 이차함수의 활용 중에 이차방정식과 이차부등식에의 응용에 관한 문제 풀이에서 여러 유형을 이차함수의 그래프와 이차함수의 원리로 이해하는 것이 아니라 단순히 판별식으로 또는 함수가 아닌 방정식과 부등식 풀이로 문제를 해결하려고 하기 때문에 응용문제 및 모든 실수를 만족하는 이차부등식의 조건을 구하는 문제에서는 많은 오류가 발생한다.
이와 같은 오류를 줄이기 위한 개선책으로는 다음과 같다.
첫째, 이차함수의 계수들을 다양하게 변화시켜서 이차함수에 대한 위치관계를 이해할 수 있도록 하는 것이 바람직하다.
둘째, 정리나 정의를 이해하기 위해서는 학습의 시각화가 필요하다. 시각화를 위해서는 현장 교사들이 손쉽게 사용할 수 있는 멀티미디어 자료(GPS, 그래픽 계산기)의 활용할 수 있는 교실 환경이 필요하다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study is purposed to research the error types of the application of quadratic function, to analyze the causes and to suggest the improvement measures in the process of mathematic solutions by the 1st-grade students of senior high school.
The following procedures are set up to achieve these purposes.
Firstly, the author is to analyze the error types incurred in the process of mathematic solutions by the 1st grade students of senior high school.
Secondly, the failure causes are to be specified per type, and finally the improvement measures are to be suggested.
For this study, the survey was conducted to 100 first-grade students of K senior high school in Geoje city, Gyeongsang Province. The test for the error type was composed of 9 questionnaires, that is 3 questions for each application category of quadratic functions, at the difficulty level of common math texts. The solution processes of the students were analyzed to identify the error types and causes and to find the improvement ways.
The analysis of the error types per the application category of quadratic functions are resulted in the follows.
Firstly, the error caused by the improper use of theorem or definition took up the largest portion with 34.7% of the errors occurred in the solution process of the application category of quadratic functions, followed by the wrong interpretation of question meaning (28.6%), the wrong application of question data, the technical mistake (13.9%), the unclear error (4.1%) and the omission of solution processes (1.7%).
Secondly, the errors happened when the students did not comprehend the mathematical theorem and definitions correctly and applied the incorrect ones to the solution. Teachers need to explain them with familiar and easier terms, using concrete and various graphs and data to reduce the students' failure.
Thirdly, there were a lot of errors in the application of the locational relation between quadratic function and straight line because the students attempted to solve the problems reflecting the discriminant without understanding their relation from the views of locational relation between quadratic function and straight line.
Finally, the students made many errors in the application and the questions about determining the conditions of quadratic inequality satisfying all real numbers as they did not understand these various types of problems by means of graphs or principles of quadratic function at solving the application questions about quadratic equations or inequality and found solutions in manner of discriminant, equation or inequality problem, not of function
The following improvement measures are suggested to reduce the above errors.
Firstly, the coefficients of quadratic functions should be varied to help the locational relation of quadratic function understood better.
Secondly, the visualization of texts is demanded for better illustration of theorem and definition. For this visualization, the classroom should be equipped to adopt the multi-media like GPS and graphic calculator utilized handily by teachers.

목차 (Table of Contents)

• 국문초록
• Ⅰ.서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구 문제 = 3
• 3. 연구의 제한점 = 4
• 4. 기대되는 효과 = 4
• Ⅱ.이론적 배경 = 6
• 1. 함수 = 6
• 2. 오류 = 12
• Ⅲ.연구의 방법 및 절차 = 21
• 1. 연구의 대상 = 21
• 2. 연구 방법 = 21
• 3. 검사 도구 = 21
• 4. 검사 절차 = 22
• 5. 자료의 결과 처리 및 분석 = 23
• Ⅳ.결과 분석 및 논의 = 25
• 1. 오류의 유형 선정 = 25
• 2. 결과 및 논의 = 31
• Ⅴ.결론 및 제언 = 43
• 1. 결론 = 43
• 2. 제언 = 44
• 참고 문헌 = 46
• <부록> 검사지 = 48
• ABSTRACT = 53